미분에서 다항식을 얻기
표준형은 Lₙ(x)=exp(x)/n! × (dⁿ/dxⁿ)(exp(-x)xⁿ)로 정의할 수 있다. n=1에서는 exp(-x)x의 미분이 exp(-x)(1-x)이므로 L₁=1-x다. 지수함수가 곱해진 정의지만 계산 결과는 다항식이다.
이차식을 계산하기
exp(-x)x²를 두 번 미분하면 exp(-x)(x²-4x+2)다. 여기에 exp(x)/2를 곱하면 L₂(x)=1-2x+x²/2를 얻는다. 예를 들어 L₂(2)=-1이다. 최고차항 계수가 1인 형태로 정규화하면 x²-4x+2가 되므로 계수 관례도 확인해야 한다.
직교에 가중치가 필요한 이유
L₀와 L₁의 가중 내적은 0부터 무한대까지 exp(-x)(1-x)를 적분한 값이다. exp(-x)의 적분과 x exp(-x)의 적분이 각각 1이라 결과는 0이다. 반대로 가중치를 빼면 같은 무한구간 적분은 수렴하지 않는다.
미분방정식으로 확인하기
Lₙ은 xLₙ″+(1-x)Lₙ′+nLₙ=0을 만족한다. L₁=1-x에서는 이차 도함수가 0이고 일차 도함수가 -1이므로 -(1-x)+(1-x)=0이다. 다항식 자체의 값, 가중 직교 조건, 만족하는 방정식은 연결되지만 서로 같은 정의 요소로 혼동하지 않는다.