롬베르크 적분법

분할과 외삽을 함께 진행하기

첫 열에는 간격 h, h/2, h/4에서 얻은 사다리꼴 근삿값을 놓는다. 다음 열에서는 인접한 두 값을 계수 4로 결합한다. 그다음 외삽에는 계수 16을 사용한다. 단순히 같은 보정을 반복해서 더하는 절차와는 다르다.

첫 열을 계산하기

f(x)=x⁴의 0부터 1까지 적분을 보자. 간격 1, 1/2, 1/4의 합성 사다리꼴 값은 각각 1/2, 9/32, 113/512다. 간격을 줄이면 정확한 값 1/5에 가까워지지만 이 값들 자체는 아직 정확하지 않다.

외삽 표를 채우기

첫 외삽 값은 (4×9/32-1/2)/3 = 5/24다. 다음 행의 같은 열은 (4×113/512-9/32)/3 = 77/384다. 이 둘을 다시 결합하면 (16×77/384-5/24)/15 = 1/5가 되어 예제의 정확한 적분값을 얻는다.

함수의 매끄러움이 중요하다

이 예제에서 정확한 값이 나온다고 모든 함수에 같은 보장이 생기는 것은 아니다. 가정한 오차 전개가 성립해야 외삽으로 차수를 높이는 설명을 적용할 수 있다. 불연속이나 특이점, 심한 반올림 오차가 있으면 분할을 늘리고 외삽 열을 추가하는 것만으로 해결되지 않을 수 있다.