오차에서 제어 입력으로
목표값을 r, 측정값을 y라 하면 오차는 e = r-y다. 연속 시간 병렬형의 이상적인 식은 u = Kp e + Ki ∫e dt + Kd de/dt다. 적분값의 초기 조건도 출력에 영향을 준다. 이 식의 각 계수는 사용하는 단위에 맞춰 정한다.
세 항의 계산 예
어느 순간 오차가 2, 누적 적분값이 3, 오차의 시간 미분값이 -0.5라고 하자. Kp = 2, Ki = 1, Kd = 0.2이면 세 항은 각각 4, 3, -0.1이다. 합친 출력은 6.9다. 현재 오차가 같아도 누적값이나 변화율이 다르면 출력은 달라진다.
모든 항을 쓸 필요는 없다
미분 항을 빼면 PI 제어가 된다. 필요한 동작을 고르는 문제와 이득을 정하는 문제는 구분한다. 예제의 한 순간 출력만으로 응답 속도나 안정성을 판단할 수는 없다. 제어 대상의 전달함수와 연결된 전체 응답을 확인해야 한다.
이상적인 미분과 실제 구현
미분 항에 일차 필터를 붙인 병렬형에서는 Kd s 대신 Kd s/(Tf s+1)을 사용한다. 이때 앞의 이상적인 순간 계산을 그대로 실제 필터 출력으로 해석하면 안 된다. 필터의 내부 상태와 시간에 따른 입력 이력도 필요하다.