두 행렬의 동시 변환
별표를 켤레전치로 쓰면 Q*AZ=S, Q*BZ=T이다. 복소수 형태에서는 S와 T를 상삼각 행렬로 만들 수 있다. 실수 연산 형태에서는 S에 1×1과 2×2 대각 블록이 나타날 수 있다. 실수 행렬이라면 켤레전치는 보통의 전치와 같다. A와 B를 서로 무관하게 따로 분해하는 절차와는 다르다.
재구성의 예제
S의 두 행을 (6,1),(0,10), T의 대각 원소를 2,5로 두자. Q의 두 행을 (0,-1),(1,0)으로 하고 Z=I라 하면 A=QS의 두 행은 (0,-10),(6,1)이다. B=QT의 두 행은 (0,-5),(2,0)이다. 같은 Q와 Z가 두 행렬을 함께 재구성한다. Q가 직교 행렬이므로 Qᵀ를 왼쪽에 곱해 S와 T를 되찾을 수 있다.
고유값과 슈어 벡터
앞 예제의 삼각 행렬 쌍에서는 det(S-λT)=(6-2λ)(10-5λ)이므로 일반화 고유값은 3과 2이다. 이처럼 적절한 삼각 형태에서는 대각값의 비율을 활용할 수 있지만 분모가 0인 경우는 별도 처리가 필요하다. Z의 열을 모두 원래 문제의 고유벡터라고 읽어서는 안 된다. 예제의 두 번째 표준기저 벡터만 보더라도 S와 T 사이의 고유벡터 관계를 만족하지 않는다.
형태와 검증
실수 2×2 블록을 처리하는 경우에는 모든 고유값을 대각 원소 하나씩의 단순한 비율로 읽을 수 없다. 복소수 켤레쌍과 특이한 행렬 쌍의 처리도 확인해야 한다. 계산 뒤 A와 B의 재구성 오차, Q와 Z의 직교성 또는 유니터리성을 함께 확인한다. 인자의 부호나 순서가 다른 결과가 나와도 분해가 틀렸다고 단정할 수는 없다.