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경로의 시간 매개화
경로의 시간 매개화는 기하학적으로 정한 경로를 언제 얼마나 빠르게 따라갈지 지정해 시간에 따른 궤적으로 바꾸는 과정이다. 같은 경로라도 시간 함수를 다르게 선택하면 속도와 가속도, 필요한 구동 입력이 달라진다.
로봇 질량행렬
로봇 질량행렬은 관절 속도로부터 운동 에너지를 나타내고 관절 가속도와 관성 토크를 연결하는 행렬이다. 관절들이 서로 영향을 주는 관성 결합을 포함하며, 일반적으로 로봇의 관절 배치에 따라 달라진다.
지수곱 순기구학
지수곱 순기구학은 직렬 로봇의 관절 운동을 행렬 지수의 곱으로 합성해 말단의 위치와 자세를 계산하는 방법이다. 기준 배치의 말단 변환과 각 관절의 나사축을 지정하면 주어진 관절 값에 대한 강체 변환을 구할 수 있다.
수치적 역기구학
수치적 역기구학은 원하는 말단 위치나 자세를 얻기 위한 관절 값을 반복 계산으로 찾는 방법이다. 현재 추정값에서 순기구학 오차를 계산하고 자코비안을 이용해 관절 값을 보정한다. 초기값과 특이점, 목표의 도달 가능성이 결과에 영향을 준다.
로봇 특이점
로봇 특이점은 특정 관절 배치에서 자코비안의 계수가 그 작업에서 가능한 최대값보다 낮아지는 상태다. 순간적으로 만들 수 있는 운동 방향이 줄어들며, 위치만 다루는 작업과 자세까지 다루는 작업을 구별해야 한다.
조작성 타원체
조작성 타원체는 관절 속도의 크기를 제한했을 때 만들 수 있는 말단 속도의 방향별 범위를 나타낸다. 현재 관절 배치에서 어느 방향으로 움직이기 쉬운지 보여 주며, 로봇이 도달할 수 있는 위치 전체를 나타내는 작업 공간과는 다르다.
로봇 자코비안
로봇 자코비안은 현재 관절 배치에서 관절 속도를 말단의 순간 운동으로 바꾸는 행렬이다. 위치만의 속도인지 6차원 트위스트인지, 어떤 좌표계로 나타내는지에 따라 행렬의 의미와 크기가 달라진다.
렌치 (로봇공학)
로봇공학의 렌치는 힘과 힘의 모멘트를 하나의 6벡터로 묶은 표현이다. 순간 운동을 나타내는 트위스트와 쌍을 이루며, 기준 좌표계와 모멘트를 계산하는 원점을 함께 정해야 한다.
강체변환의 수반 표현
강체변환의 수반 표현은 같은 강체 운동의 트위스트를 다른 좌표계의 성분으로 바꾸는 6×6 행렬이다. 회전뿐 아니라 기준점의 이동이 선형 속도 성분에 미치는 영향도 반영한다.
트위스트 (로봇공학)
로봇공학의 트위스트는 강체의 순간적인 각속도와 선형 속도 성분을 여섯 개의 수로 나타낸 것이다. 같은 운동도 기준 좌표계에 따라 성분이 달라지므로 좌표계를 함께 명시해야 한다.
강체변환의 지수좌표
강체변환의 지수좌표는 회전과 평행이동을 여섯 개의 실수로 표현하고 행렬 지수함수로 강체변환에 연결하는 좌표다. 회전 성분과 이동 성분이 결합되므로 마지막 세 값을 언제나 실제 평행이동으로 읽으면 안 된다.
이중 쿼터니언
이중 쿼터니언은 두 쿼터니언을 이중수 단위로 결합한 대수적 표현이다. 단위 이중 쿼터니언은 3차원 강체의 회전과 평행이동을 함께 나타내는 데 사용할 수 있다.
회전 스플라인
회전 스플라인은 여러 시각의 자세를 통과하면서 각속도와 각가속도를 연속적으로 연결하는 회전 보간법이다. 오일러 각의 성분을 독립적으로 보간하는 것과 구분한다.
수정 로드리게스 매개변수
수정 로드리게스 매개변수는 회전축 방향의 3차원 벡터로 자세를 표현하는 방법이다. 벡터의 크기는 회전각 자체가 아니라 그 각의 4분의 1에 대한 탄젠트다.
회전 평균
회전 평균은 여러 회전을 하나의 대표 회전으로 요약하는 문제다. 어떤 거리와 손실을 사용하는지에 따라 정의가 달라지며, 회전행렬이나 오일러 각의 성분을 단순 평균하는 것과 구분해야 한다.
상관행렬
상관행렬은 여러 변수 사이의 상관계수를 한 행렬로 모은 것이다. 피어슨 상관행렬은 공분산을 각 변수의 표준편차로 정규화하며, 개별 계수의 범위뿐 아니라 행렬 전체의 제약도 만족해야 한다.
LKJ 상관행렬 분포
LKJ 상관행렬 분포는 양의 정부호 상관행렬에 확률을 부여하는 분포다. 행렬식의 거듭제곱으로 밀도를 표현하며, 모양 모수 η로 상관 구조에 대한 선호를 조절한다.
브루너 문젤 검정
브루너 문젤 검정은 두 독립 집단에서 하나씩 값을 뽑았을 때 어느 쪽이 더 큰지의 상대 확률을 평가하는 비모수 검정이다. 두 분포가 완전히 같다는 귀무가설과는 구분한다.
무드 척도 검정
무드 척도 검정은 합친 표본에서 순위가 중앙으로부터 떨어진 정도를 이용해 두 집단의 척도 차이를 평가하는 비모수 검정이다. 같은 이름의 중앙값 검정과는 다른 방법이다.
안사리 브래들리 검정
안사리 브래들리 검정은 두 독립 표본이 공통 위치와 같은 분포 모양을 갖는 모형에서 척도의 차이를 평가하는 순위 기반 검정이다. 척도비와 분산비를 같은 수치로 읽지 않아야 한다.
에프스 싱글턴 검정
에프스 싱글턴 검정은 두 표본의 분포가 같은지 경험적 특성함수를 이용해 평가하는 비모수 검정이다. 누적분포함수의 차이를 직접 비교하는 방식과는 다른 주파수형 표현을 사용한다.
한 표본 크래머폰미제스 검정
한 표본 크래머폰미제스 검정은 관측 자료의 경험적 누적분포와 주어진 기준 누적분포 사이의 차이를 평가하는 적합도 검정이다. 두 관측 표본을 서로 비교하는 검정과 구분한다.
에너지 검정
에너지 검정은 관측 사이의 거리를 이용해 여러 표본의 분포가 같은지 평가하는 비모수 검정이다. 평균 차이만을 비교하는 검정과 달리 분포의 다른 차이도 대상으로 삼는다.
거리 상관계수
거리 상관계수는 관측 쌍 사이의 거리 행렬을 이용해 두 확률벡터의 의존성을 측정하는 지표다. 피어슨 계수에서 1을 빼는 상관 거리와는 다르며, 비선형 관계도 반영할 수 있다.
차터지 상관계수
차터지 상관계수는 한 변수 순서로 자료를 정렬한 뒤 다른 변수의 순위 변화로 의존성을 측정하는 지표다. 단조롭지 않은 관계도 다룰 수 있으며, 두 변수의 순서를 바꾸면 값이 달라질 수 있다.
다변량 감마 함수
다변량 감마 함수는 양의 정부호 행렬에 대한 적분으로 정의되는 특수함수다. 차원 d가 붙지만 함수의 인수 a는 스칼라이며, 여러 보통 감마 함수의 곱으로 계산할 수 있다.
다변량 베타 함수
다변량 베타 함수는 여러 양의 모수에 대해 감마 함수의 곱을 감마 함수 하나로 나눈 값이다. 디리클레 분포의 정규화 상수와 연결되며, 모수가 두 개일 때 보통 베타 함수가 된다.
원형 분산
원형 분산은 각도 자료의 평균 합성 벡터 길이를 이용해 퍼짐을 나타내는 지표다. 이 문서에서는 V=1−R을 사용하며, 숫자 각도의 보통 분산과 단위 및 범위가 다르다.
원형 평균
원형 평균은 각도를 단위원 위의 벡터로 바꾸어 평균 방향을 구하는 방법이다. 한 바퀴 뒤 같은 값으로 돌아오는 자료에서 경계 부근의 값들이 멀리 떨어진 숫자로 보이는 문제를 피한다.
최소제곱 FIR 설계
최소제곱 FIR 설계는 목표 주파수 응답과 실제 응답 사이의 가중 제곱 오차 적분을 작게 만드는 필터 설계 방법이다. 최대 오차를 직접 제한하는 미니맥스 설계와 구분한다.
파크스 매클렐런 필터 설계
파크스 매클렐런 필터 설계는 지정한 주파수 대역에서 최대 가중 오차를 작게 만드는 선형 위상 FIR 설계 방식이다. 레메즈 교환 알고리즘을 사용하며, 평균제곱 오차를 줄이는 설계와 목적이 다르다.
다상 리샘플링
다상 리샘플링은 표본화율을 정수 비율로 바꿀 때 저역통과 필터 계산을 여러 위상으로 나누어 수행하는 방법이다. 업샘플링,필터링,다운샘플링의 결과를 효율적으로 계산하는 구조다.
처프 Z 변환
처프 Z 변환은 유한 신호의 Z 변환을 복소평면의 원이나 나선 위에서 계산하는 방법이다. 전체 단위원의 등간격 점을 사용하는 DFT를 포함하며, 평가할 영역과 점 개수를 조절할 수 있다.
교차 스펙트럼 밀도
교차 스펙트럼 밀도는 두 신호의 주파수 성분이 함께 변하는 관계를 복소수로 나타낸 양이다. 각 신호의 전력 스펙트럼과 달리 크기뿐 아니라 상대 위상 정보도 포함할 수 있다.
크기 제곱 코히어런스
크기 제곱 코히어런스는 두 신호의 교차 스펙트럼을 각각의 전력 스펙트럼으로 정규화한 주파수별 지표다. 주파수 성분 사이의 선형적인 관계를 살필 때 사용하며, 위상이나 인과관계 자체를 뜻하지 않는다.
롬 스카글 주기도
롬 스카글 주기도는 관측 간격이 고르지 않은 시계열에서 주기 성분을 탐색하는 방법이다. 주파수마다 사인과 코사인 모형을 적합하여 해당 주파수가 자료를 얼마나 설명하는지 평가한다.
웰치 스펙트럼 추정법
웰치 스펙트럼 추정법은 신호를 여러 구간으로 나누어 각각의 주기도를 구한 뒤 평균하는 방법이다. 구간을 겹치게 배치할 수 있으며, 전력 스펙트럼 밀도를 추정하는 데 사용한다.
블랙먼 창
블랙먼 창은 세 개의 코사인 항을 조합해 신호 구간을 완만하게 줄이는 창 함수다. 한 창이나 해밍 창과 계수가 다르며, 시간 영역의 모양과 주파수 응답을 함께 고려해 사용한다.
플랫톱 창
플랫톱 창은 주파수 성분의 진폭을 측정할 때 FFT 빈 사이의 위치에 따른 오차를 줄이도록 설계한 창 함수다. 이름의 평평함은 시간 영역의 중앙을 길게 평탄하게 유지한다는 뜻과 구분한다.
한 창
한 창은 코사인 곡선을 이용해 신호 구간의 양 끝을 0으로 줄이는 창 함수다. 영문명은 Hann window이며, 비슷한 이름의 해밍 창과 계수 및 끝점 값이 다르다.
해밍 창
해밍 창은 코사인 항과 상수항을 조합해 신호 구간의 양 끝을 줄이는 창 함수다. 대칭형의 끝점이 0.08로 남는다는 점에서 양 끝이 0인 한 창과 구별된다.
카이저 창
카이저 창은 수정 베셀 함수를 이용해 양 끝을 완만하게 줄이는 창 함수다. 모양 모수 β를 조절하여 시간 영역의 형태와 주파수 영역의 주엽·부엽 특성 사이에서 선택한다.
튜키 창
튜키 창은 가운데를 평평하게 유지하면서 양 끝을 코사인 곡선으로 줄이는 창 함수다. 끝을 완만하게 만드는 비율을 α로 조절하며, 직사각형 창과 한 창 사이의 형태를 구성한다.
가우스 야코비 구적법
가우스 야코비 구적법은 구간 양 끝의 거듭제곱 가중치를 반영하는 가우스 구적법이다. 두 모수 α와 β를 사용하며 여러 익숙한 구적 공식을 특수형으로 포함한다.
가우스 체비쇼프 구적법
가우스 체비쇼프 구적법은 체비쇼프 다항식의 근을 사용해 가중 적분을 계산하는 방법이다. 제1종 형식은 −1부터 1까지 1/√(1−x²) 가중치가 있는 적분을 다룬다.
가우스 라게르 구적법
가우스 라게르 구적법은 0부터 무한대까지 지수 가중치가 곱해진 적분을 유한한 가중합으로 근사하는 방법이다. 라게르 다항식의 근을 평가점으로 사용한다.
가우스 에르미트 구적법
가우스 에르미트 구적법은 실수 전체에서 가우스 가중치가 곱해진 적분을 유한한 점의 가중합으로 근사하는 방법이다. 정규분포에 대한 기댓값 계산에도 변수 변환을 통해 사용할 수 있다.
가우스 크론로드 구적법
가우스 크론로드 구적법은 가우스 구적의 평가점에 새 점을 추가해 더 정밀한 근사와 오차 추정치를 함께 얻는 수치적분 방법이다. 이전에 계산한 함수값을 재사용하는 중첩 구조가 핵심이다.
tanh-sinh 구적법
tanh-sinh 구적법은 쌍곡선 탄젠트와 쌍곡선 사인을 결합한 변수 변환으로 수치적분을 계산하는 방법이다. 이중 지수형 구적법의 하나로, 적분 가능한 끝점 특이성을 다루는 데 유용하다.
플로터 호르만 보간
플로터 호르만 보간은 이웃한 점들로 만든 낮은 차수 다항식들을 결합하는 유리함수 보간법이다. 서로 다른 실수 절점에 대한 표준 구성은 실수축의 극점 없이 데이터를 통과하도록 설계된다.
클러프 토처 보간
클러프 토처 보간은 평면의 흩어진 데이터 점을 삼각분할하고 구간별 3차 다항식으로 연결하는 보간법이다. 함수값과 1차 도함수가 연속인 2차원 곡면을 구성한다.
방사 기저 함수 보간
방사 기저 함수 보간은 데이터 점과의 거리에 따라 값이 달라지는 함수들을 결합해 관측값 사이를 추정하는 방법이다. 규칙적인 격자가 없는 다차원 점 자료에도 사용할 수 있다.
무게중심 다항 보간
무게중심 다항 보간은 라그랑주 보간 다항식을 가중치가 있는 비율 형태로 계산하는 방법이다. 다항식의 계수를 거듭제곱 형태로 전개하지 않고도 보간값을 구할 수 있다.
아키마 보간
아키마 보간은 주변 구간의 기울기를 이용해 각 데이터 점의 접선 기울기를 정하는 구간별 3차 보간법이다. 주어진 점들을 통과하면서 1차 도함수가 이어지는 곡선을 만든다.
베타 음이항분포
베타 음이항분포는 성공 확률이 집단마다 달라지는 음이항 모형이다. 성공 확률을 베타분포에서 한 번 뽑아 유지한 채, 정해진 성공 횟수까지 발생한 실패 수를 센다.
비중심 F분포
비중심 F분포는 비중심 카이제곱변수와 중심 카이제곱변수의 비를 각각의 자유도로 조정해 만드는 연속분포다. 분자와 분모 자유도, 비중심 모수의 세 입력을 구분해야 한다.
비중심 t분포
비중심 t분포는 평균이 이동한 정규변수를 독립 카이제곱변수의 제곱근으로 나눌 때 생기는 분포다. 중심 t분포에 상수를 더한 위치 이동과는 다르며, 비중심 모수는 음수도 가능하다.
비중심 카이제곱분포
비중심 카이제곱분포는 평균이 0일 필요가 없는 독립 정규변수들을 표준화한 뒤 제곱해 더할 때 등장하는 분포다. 자유도와 비중심 모수로 정하며, 중심 카이제곱분포를 단순히 평행이동한 것과 다르다.
정규 역가우스 분포
정규 역가우스 분포는 정규분포의 평균과 분산을 역가우스 확률변수로 함께 바꾸어 만드는 연속분포다. 정규변수의 역수를 취한 분포라는 뜻은 아니며, 비대칭적인 모양도 표현할 수 있다.
일반화 역가우스 분포
일반화 역가우스 분포는 양의 값에서 x와 1/x를 함께 포함하는 지수형 밀도를 갖는 연속분포다. 역가우스 분포를 포함하는 분포족이며, 자료마다 사용하는 모수화가 다를 수 있다.
레비 분포
레비 분포는 한쪽으로 긴 꼬리를 갖는 연속확률분포다. 위치 μ와 양의 척도 c를 사용하면 μ보다 큰 값을 가지며, 유한한 평균과 분산이 존재하지 않는다는 점이 중요한 특징이다.
존슨 SB 분포
존슨 SB 분포는 정규 확률변수를 로지스틱 변환해 유한한 구간 안으로 옮긴 연속분포다. 기본형은 0과 1 사이의 값을 가지며, 위치와 척도로 구간을 바꿀 수 있다.
존슨 SU 분포
존슨 SU 분포는 정규 확률변수에 쌍곡선 사인 변환을 적용해 만드는 연속분포다. 두 모양 모수로 비대칭성과 퍼짐을 조절하며, 기본형의 값 범위는 모든 실수다.
쌍곡선 시컨트 분포
쌍곡선 시컨트 분포는 밀도가 쌍곡선 코사인의 역수에 비례하는 대칭 연속분포다. 척도의 정의가 자료마다 다를 수 있으므로 밀도식에 들어가는 상수를 함께 확인해야 한다.
후르비츠 제타 함수
후르비츠 제타 함수는 역거듭제곱 급수의 시작 위치를 모수로 조절하는 특수함수다. 양의 a와 실수 s>1에서는 ζ(s,a)=Σ(n+a)⁻s로 정의하며 a=1에서 리만 제타 함수가 된다.
시선속도에서 sin과 cos를 구분하는 법
속도 벡터를 시선 방향으로 투영하는 원리와 각도의 기준선에 따라 sin과 cos가 달라지는 이유를 예제로 설명한다.
리만 제타 함수
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 영역에서 자연수 거듭제곱의 역수 합으로 정의되는 복소함수다. 다른 영역에서는 해석적 연속으로 다루며, 원래 급수의 수렴과 확장된 함수의 값을 구분해야 한다.
로그 감마 함수
로그 감마 함수는 양의 실수에서 lnΓ(x)로 정의하고 복소수 영역으로 확장하는 특수함수다. 감마 함수가 매우 커지는 계산을 로그 공간에서 다룰 수 있지만, 복소수에서는 로그의 가지를 구분해야 한다.
제1종 대칭 타원적분
제1종 대칭 타원적분 RF는 세 인수를 대칭적으로 다루는 칼슨 형식의 타원적분이다. 인수의 순서를 바꾸어도 값이 같고, 양의 실수 인수에서는 하나의 실수 적분으로 정의된다.
트리코미 함수
트리코미 함수 U는 쿠머의 합류 초기하 미분방정식에서 무한대 쪽의 거동으로 정규화하는 특수함수다. 같은 방정식을 따르는 ₁F₁과 구분하며, 입력 영역과 가지 선택을 함께 확인해야 한다.
오일러 수 (수열)
오일러 수는 1, 0, −1, 0, 5, 0, −61, …로 시작하는 정수열이다. 자연로그의 밑 e와는 다른 개념이며, 부호를 포함한 수열인지 절댓값 수열인지 구분해야 한다.
합류 초기하 극한 함수
합류 초기하 극한 함수 ₀F₁은 분자 모수가 없는 초기하 급수로 정의되는 특수함수다. 상승 계승이 분모에 들어가며, 베셀 함수와도 연결된다.
베르누이 수
베르누이 수는 지수생성함수의 계수로 정해지는 유리수열이다. 처음 몇 값은 1, −1/2, 1/6, 0, −1/30이며, 특히 첫 번째 차수의 부호 관례를 확인해야 한다.
야코비 타원함수
야코비 타원함수는 타원적분의 역관계에서 등장하는 함수들의 모음이다. 대표적으로 sn, cn, dn이 있으며, 삼각함수의 관계를 모수가 있는 형태로 확장한다.
구면 조화 함수
구면 조화 함수는 구면 위에서 방향에 따라 달라지는 값을 표현하는 기본 함수다. 두 각도와 정수 지표로 나타내며, 차수별로 서로 다른 방향 패턴을 구성한다.
보이트 프로파일
보이트 프로파일은 정규분포와 코시분포의 밀도를 합성곱해 얻는 곡선이다. 두 종류의 퍼짐을 함께 표현하며, 두 곡선을 단순히 더한 혼합 모형과는 다르다.
해수 상하 혼합과 밀도 성층
바람에 의한 혼합과 표층 냉각에 의한 대류를 구분하고 밀도 차이의 크기뿐 아니라 위아래 배치가 중요한 이유를 설명한다.
파데예바 함수
파데예바 함수는 복소수 입력에 대해 지수함수와 상보 오차함수를 결합한 특수함수다. 실수축에서도 값은 일반적으로 복소수이며, 실수부와 허수부를 구분해 해석해야 한다.
라이트 오메가 함수
라이트 오메가 함수는 미지수가 자신의 로그와 함께 등장하는 방정식을 푸는 특수함수다. 실수 입력에서는 양의 해를 가지며, 람베르트 W 함수와 연결해 이해할 수 있다.
상승 계승
상승 계승은 시작값에서 1씩 증가하는 수를 정해진 개수만큼 곱한 식이다. 초기하 함수의 급수 계수를 간결하게 나타내는 데 쓰이며, 보통 (x)_n이라는 기호로 표시한다.
합류 초기하 함수
합류 초기하 함수는 초기하 함수의 합류형 미분방정식과 관련된 특수함수다. 대표적인 제1종 ₁F₁은 상승 계승을 사용하는 급수로 정의하며 쿠머 함수 M이라는 표기로도 나타낸다.
가우스 초기하 함수
가우스 초기하 함수는 두 분자 모수와 한 분모 모수를 갖는 거듭제곱 급수로 정의되는 특수함수다. 여러 초등함수와 직교다항식을 특수한 경우로 포함하며 ₂F₁이라는 기호를 쓴다.
다이로그 함수
다이로그 함수는 로그를 포함한 적분이나 제곱 역수 계수의 급수로 표현되는 특수함수다. 대표 기호 Li₂를 사용하며 스펜스 함수라는 이름의 구현과는 입력 규약을 확인해야 한다.
오언 T 함수
오언 T 함수는 두 독립 표준정규 변수의 특정 영역 확률을 계산하는 데 쓰이는 특수함수다. 양의 모수 구간에서는 한 변수의 하한과 두 변수를 연결하는 기울기 조건으로 확률을 해석할 수 있다.
지수 적분 E1
지수 적분 E1은 exp(−t)/t를 입력값부터 무한대까지 적분해 정의하는 특수함수다. 양의 실수에서는 양수이며 입력이 증가할수록 감소한다. 다른 지수 적분 표기인 Ei와 구분해야 한다.
스트루브 함수
스트루브 함수는 비제차 베셀형 미분방정식과 연결되는 특수함수다. 차수 ν와 입력 x에 따라 값을 가지며, 베셀 함수나 한켈 함수와 기호가 비슷하더라도 같은 함수는 아니다.
게겐바우어 다항식
게겐바우어 다항식은 모수에 따라 가중함수와 모양이 달라지는 직교다항식 계열이다. 초구면 다항식이라고도 하며 르장드르와 체비쇼프 계열을 연결하는 특수한 경우를 가진다.
수정 베셀 함수
수정 베셀 함수는 x²y″+xy′−(x²+ν²)y=0의 표준 해를 나타내는 특수함수다. 제1종 I와 제2종 K를 사용하며 일반 베셀 방정식과는 x² 항의 부호가 다르다.
구면 베셀 함수
구면 베셀 함수는 반정수 차수의 베셀 함수에 제곱근 인자를 결합해 정의하는 특수함수 계열이다. 제1종 j_n은 일반 베셀 함수 J_n과 차수 및 정규화가 다르다.
베셀 함수
베셀 함수는 x²y″+xy′+(x²−ν²)y=0이라는 베셀 미분방정식의 표준 해들이다. 차수 ν와 입력 x를 구분하며 제1종 J와 제2종 Y 등의 함수가 서로 다른 해를 나타낸다.
에어리 함수
에어리 함수는 미분방정식 y″(x)=xy(x)의 표준적인 두 독립해 Ai와 Bi를 가리키는 특수함수다. 두 함수의 선형결합으로 일반해를 표현하고 초기값이나 경계조건에 맞춰 계수를 정한다.
사인 적분과 코사인 적분
사인 적분과 코사인 적분은 삼각함수를 변수로 나눈 형태의 적분과 연결되는 특수함수다. 사인 적분 Si와 코사인 적분 Ci는 원점 부근의 거동이 서로 다르며 복소수에서는 로그의 가지도 고려해야 한다.
제2종 완전 타원적분
제2종 완전 타원적분은 √(1−m sin²t)를 0부터 π/2까지 적분한 특수함수다. 타원의 둘레를 나타내는 식과 연결되며, 제1종 적분의 역제곱근과 구분해야 한다.
제1종 완전 타원적분
제1종 완전 타원적분은 제곱근 안에 삼각함수가 들어가는 적분을 0부터 π/2까지 계산한 특수함수다. 모수 m을 쓰는 표현과 모듈러스 k를 쓰는 표현은 m=k²의 관계로 구분해야 한다.
불완전 감마 함수
불완전 감마 함수는 감마 적분을 유한한 경계에서 나누어 정의하는 특수함수다. 아래쪽과 위쪽 적분, 감마 함수로 나눈 정규화 형태를 구분하며 감마 분포의 누적확률과 연결된다.
불완전 베타 함수
불완전 베타 함수는 베타 적분의 위쪽 끝을 1이 아닌 x까지로 제한한 함수다. 완전 베타 함수로 나눈 정규화 형태는 베타 분포의 누적확률과 연결된다.
베타 함수
베타 함수는 0부터 1 사이의 두 거듭제곱 인자를 적분해 정의하는 두 변수 특수함수다. 감마 함수의 비로 표현할 수 있으며 베타 분포 등의 정규화 상수와 연결된다.
폴리감마 함수
폴리감마 함수는 디감마 함수를 반복 미분해 얻는 특수함수 계열이다. 차수 n의 함수는 로그 감마 함수의 n+1차 도함수에 대응하며, 첫 도함수는 트리감마 함수라고 부른다.
디감마 함수
디감마 함수는 감마 함수의 로그 도함수인 특수함수다. 감마 함수 자체의 미분과는 다르며 감마 함수가 포함된 식의 변화율을 간결하게 나타내는 데 사용한다.
프레넬 적분
프레넬 적분은 변수의 제곱이 위상에 들어가는 사인과 코사인을 적분한 특수함수 쌍이다. 적분 안의 주파수가 위치에 따라 달라지는 진동을 다루며 정규화 규약을 함께 확인해야 한다.