문서 둘러보기
아르곤
아르곤은 원자번호 18, 원소기호 Ar인 비활성 기체 원소다. 상온에서 무색 기체이며 지구 대기에 약 0.94% 들어 있다. 반응성이 낮아 보호 분위기를 만드는 데 활용된다.
헬륨
헬륨은 원자번호 2, 원소기호 He인 비활성 기체 원소다. 상온에서 무색 기체이고 화학적 반응성이 매우 낮다. 낮은 밀도와 매우 낮은 끓는점 때문에 부양 기체와 저온 냉각 등에 쓰인다.
칼륨
칼륨은 원자번호 19, 원소기호 K인 알칼리 금속이다. 자연에서는 주로 화합물로 존재하며, 칼륨 이온은 생물과 토양의 물질 순환에서 중요한 역할을 한다.
칼슘
칼슘은 원자번호 20, 원소기호 Ca인 금속 원소다. 석회암과 석고 등 여러 광물에 포함되며, 자연의 화합물에서는 Ca²⁺ 이온 형태가 흔하다.
황
황은 원자번호 16, 원소기호 S인 비금속 원소다. 흔히 노란 고체로 만나며, 자연에서는 원소 상태와 여러 화합물 형태로 존재한다. 황산 제조와 고무 재료 등 다양한 분야에 사용된다.
아연
아연은 원자번호 30, 원소기호 Zn인 금속 원소다. 철강 표면을 보호하는 아연 도금과 구리계 합금 등에 사용된다. 아연 금속과 산화 아연 등의 화합물은 서로 구별한다.
알루미늄
알루미늄은 원자번호 13, 원소기호 Al인 금속 원소다. 가볍고 가공하기 쉬우며, 표면에 생기는 얇은 산화막이 부식을 억제하는 데 기여한다. 실제 구조 재료에는 합금 형태로도 널리 쓰인다.
규소
규소는 원자번호 14, 원소기호 Si인 원소다. 지각에서는 이산화 규소와 규산염 형태로 널리 존재하고, 고순도 원소 규소는 반도체 재료로 사용된다.
나트륨
나트륨은 원자번호 11, 원소기호 Na인 알칼리 금속이다. 금속 자체는 반응성이 크며 자연에서는 주로 화합물 형태로 존재한다. 염화 나트륨 속 나트륨 이온과 금속 나트륨은 성질이 다르다.
다항함수
다항함수는 다항식으로 나타내는 함수다. 실수 계수의 한 변수 다항식은 음이 아닌 정수 지수의 항들을 유한하게 더한 형태이며, 실수 전체에서 연속이고 미분 가능하다.
무리함수
무리함수는 학교 수학에서 보통 변수가 근호 안에 들어 있는 무리식으로 나타내는 함수를 말한다. 대표적으로 y=√x가 있으며, 실수 범위에서는 근의 종류와 분모 조건에 따라 정의역을 정한다.
곱의 미분법
곱의 미분법은 미분 가능한 두 함수의 곱을 미분하는 규칙이다. (fg)′=f′g+fg′이며, 두 함수의 도함수만 곱한 f′g′와는 다르다.
몫의 미분법
몫의 미분법은 미분 가능한 두 함수의 비를 미분하는 규칙이다. 분모가 0이 아닌 점에서 (f/g)′=(f′g−fg′)/g²로 계산한다.
연쇄법칙
연쇄법칙은 합성함수를 미분하는 규칙이다. 안쪽 함수 g를 먼저 적용하고 바깥 함수 f를 적용한 f(g(x))의 도함수는 적절한 미분 가능성 조건에서 f′(g(x))g′(x)다.
치환적분
치환적분은 합성함수의 미분 관계를 이용하여 적분 변수를 바꾸는 방법이다. u=g(x)로 둘 때 g′(x)dx를 du로 함께 바꾸며, 정적분에서는 양 끝도 새 변수에 맞게 변환한다.
적분상수
적분상수는 부정적분에서 원시함수들의 상수 차이를 나타내기 위해 붙이는 임의의 상수다. 보통 C로 쓰며, 초기조건 등 추가 정보가 주어지면 값이 정해질 수 있다.
부정적분
부정적분은 주어진 함수의 원시함수들을 나타내는 표현이다. 구간에서 F′(x)=f(x)이면 ∫f(x)dx=F(x)+C로 쓰며, C는 임의의 상수다.
극대와 극소
극대와 극소는 함수의 한 점 주변에서 함수값을 비교하는 국소적 성질이다. 그 점의 값이 충분히 가까운 입력들의 값보다 작지 않으면 극대, 크지 않으면 극소라고 한다.
평균변화율
평균변화율은 서로 다른 두 입력 사이에서 함수값의 변화량을 입력의 변화량으로 나눈 값이다. 그래프에서는 두 점을 잇는 할선의 기울기이며, 순간변화율과 구별한다.
절댓값 함수
절댓값 함수는 실수 x에 절댓값 |x|를 대응시키는 함수다. x가 0 이상이면 x, 0 미만이면 −x와 같으며 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하는 V자 모양이다.
코사인 법칙
코사인 법칙은 삼각형에서 두 변과 그 사이 각을 나머지 변의 길이와 연결하는 정리다. 각 C의 맞은편 변이 c이고 나머지 변이 a,b이면 c²=a²+b²−2ab cosC다.
단위원
단위원은 반지름이 1인 원이다. 좌표평면에서는 보통 원점을 중심으로 하는 x²+y²=1인 원을 가리킨다. 삼각함수를 각의 크기와 좌표의 관계로 설명하는 데 사용한다.
사인 법칙
사인 법칙은 삼각형의 각 변 길이를 그 맞은편 각의 사인으로 나눈 비가 모두 같다는 정리다. 변 a,b,c의 맞은편 각을 A,B,C로 쓰면 a/sinA=b/sinB=c/sinC이며 이 값은 외접원 반지름의 두 배다.
거리 (수학)
거리는 두 점이 얼마나 떨어져 있는지 나타내는 음이 아닌 값이다. 유클리드 평면에서는 두 점을 잇는 선분의 길이로 정하며, 좌표 차에 피타고라스 정리를 적용해 계산한다.
선대칭
선대칭은 어떤 직선을 기준으로 대칭이동했을 때 도형이 원래 도형과 겹치는 성질이다. 그 기준 직선을 대칭축이라고 한다. 대칭축의 개수는 도형에 따라 다르다.
순서쌍
순서쌍은 첫째 원소와 둘째 원소의 순서를 구분하여 묶은 것이다. (a,b)로 나타내며, (a,b)=(c,d)이려면 a=c이고 b=d여야 한다.
점대칭
점대칭은 어떤 점을 중심으로 180도 회전했을 때 도형이 원래 도형과 겹치는 성질이다. 그 점을 대칭중심이라고 하며, 대응하는 두 점을 잇는 선분의 중점이 된다.
대칭이동
대칭이동은 정한 직선을 거울선으로 삼아 점을 반대편에 대응시키는 평면 변환이다. 점과 그 대응점을 이은 선분은 대칭축에 수직이고 대칭축은 그 선분을 이등분한다.
평행이동
평행이동은 평면의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮기는 변환이다. 좌표로는 (x,y)를 (x+a,y+b)로 바꾸며, 도형의 길이와 각의 크기를 보존한다.
회전이동
회전이동은 정한 중심 주위로 모든 점을 같은 방향과 같은 각도만큼 돌리는 평면 변환이다. 중심에서 각 점까지의 거리와 점들 사이의 거리가 보존된다.
각의 이등분선
각의 이등분선은 한 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 꼭짓점에서의 반직선이다. 삼각형에서는 꼭짓점의 내각을 이등분하는 선이 맞은편 변과 만나는 선분을 다루는 경우가 많다.
높이 (기하학)
기하학에서 높이는 기준으로 정한 직선이나 평면에 대한 수직 거리를 뜻한다. 삼각형에서는 한 꼭짓점에서 맞은편 변을 포함하는 직선까지의 수직 거리를 높이로 사용한다.
수심 (기하학)
수심은 삼각형의 세 높이를 포함하는 직선이 만나는 점이다. 예각삼각형에서는 내부에, 직각삼각형에서는 직각인 꼭짓점에, 둔각삼각형에서는 외부에 놓인다.
대각선
대각선은 다각형에서 서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분이다. 입체도형에서는 같은 면 위의 대각선과 서로 다른 면을 가로지르는 공간 대각선을 구분한다.
둘레
둘레는 평면 도형의 경계를 따라 잰 전체 길이다. 다각형에서는 모든 변의 길이를 더하고, 원에서는 원둘레 공식을 사용한다. 도형이 차지하는 면적인 넓이와는 다르다.
원기둥
원기둥은 서로 평행하고 합동인 두 원판을 밑면으로 하는 입체도형이다. 보통 밑면의 중심을 잇는 축이 밑면에 수직인 경우를 뜻하며, 반지름 r과 높이 h일 때 부피는 πr²h다.
직육면체
직육면체는 여섯 면이 모두 직사각형인 입체도형이다. 서로 마주 보는 면은 평행하고 합동이며, 가로·세로·높이를 a, b, c로 두면 부피는 abc다.
정육면체
정육면체는 합동인 정사각형 여섯 개로 둘러싸인 입체도형이다. 모든 모서리의 길이가 같고 한 꼭짓점에 세 면이 만난다. 정다면체의 하나다.
육각형
육각형은 여섯 개의 변과 여섯 개의 꼭짓점을 가진 다각형이다. 서로 교차하지 않는 평면 육각형의 내각 합은 720도다. 변과 각이 각각 모두 같은 경우를 정육각형이라고 한다.
사다리꼴
사다리꼴은 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이다. 평행한 두 변을 밑변으로 삼고 그 사이의 수직 거리를 높이로 사용하여 넓이를 계산한다. 평행사변형을 포함하는지는 정의 관례에 따라 달라질 수 있다.
오각형
오각형은 다섯 개의 변과 다섯 개의 꼭짓점을 가진 다각형이다. 서로 교차하지 않는 평면 오각형의 내각 합은 540도다. 모든 변과 각이 같은 특별한 경우를 정오각형이라고 한다.
내각
내각은 다각형의 꼭짓점에서 이웃한 두 변 사이에 생기는 도형 안쪽의 각이다. 유클리드 평면에서 서로 교차하지 않는 n각형의 내각 합은 (n−2)×180도다.
외각
외각은 다각형의 한 꼭짓점에서 한 변과 이웃한 변을 연장한 방향 사이에 생기는 각이다. 볼록다각형에서 내각과 그에 이웃한 외각의 합은 180도다.
정다각형
정다각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기도 같은 다각형이다. 보통 단순한 볼록다각형을 대상으로 하며, 정n각형의 한 외각은 360도/n이다.
맞꼭지각
맞꼭지각은 두 직선이 교차할 때 서로 마주 보는 각 한 쌍이다. 두 각의 변은 각각 반대 방향의 반직선으로 이루어지며, 맞꼭지각의 크기는 같다.
보각
보각은 두 각의 크기를 더했을 때 180도가 되는 관계다. 두 각이 반드시 서로 붙어 있을 필요는 없다. 한 각이 θ이면 그 보각의 크기는 180도−θ다.
여각
여각은 두 각의 크기를 더했을 때 90도가 되는 관계다. 한 각이 θ이면 그 여각은 90도−θ이며, 양의 크기를 갖는 여각 한 쌍은 모두 예각이다.
이등변삼각형
이등변삼각형은 적어도 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 같은 두 변의 맞은편 각은 서로 같다. 이 정의에서는 세 변이 모두 같은 정삼각형도 이등변삼각형에 포함한다.
정삼각형
정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이다. 유클리드 평면에서 세 내각은 각각 60도이며, 세 변에 대응하는 대칭축을 갖는다.
직각삼각형
직각삼각형은 한 내각이 직각인 삼각형이다. 직각의 맞은편 변을 빗변이라고 하며, 나머지 두 변과 빗변 사이에는 피타고라스 정리가 성립한다.
둔각
둔각은 90도보다 크고 180도보다 작은 각이다. 라디안으로는 π/2와 π 사이에 있다. 직각이나 평각은 둔각에 포함하지 않는다.
예각
예각은 0도보다 크고 90도보다 작은 각이다. 라디안으로는 0과 π/2 사이에 있다. 0도와 직각은 이 범위에 포함하지 않는다.
직각
직각은 90도, 즉 π/2라디안인 각이다. 한 바퀴의 1/4에 해당하며, 두 직선이 만나 이루는 각이 직각이면 두 직선은 서로 수직이다.
라디안
라디안은 원의 호 길이를 반지름으로 나눈 비로 정의하는 평면각의 단위다. 호 길이가 반지름과 같을 때 중심각이 1라디안이며, 한 바퀴는 2π라디안이다.
반지름
반지름은 원의 중심과 원주 위 한 점을 잇는 선분 또는 그 길이다. 같은 원의 모든 반지름 길이는 같으며, 지름의 절반이다. 구에서도 중심에서 구면까지의 거리를 반지름이라고 한다.
지름
지름은 원의 중심을 지나며 두 끝점이 원주 위에 놓이는 선분 또는 그 길이다. 반지름의 두 배이며, 한 원에서 가장 긴 현이다.
원주각
원주각은 원주 위 한 점을 꼭짓점으로 하고 두 현을 변으로 하는 각이다. 꼭짓점을 포함하지 않는 쪽의 호에 대응하며 그 호의 중심각 크기의 절반이다.
활꼴
활꼴은 원의 한 호와 그 호의 두 끝점을 잇는 현으로 둘러싸인 부분이다. 같은 호에 대응하는 부채꼴과 달리 경계에 두 반지름 대신 하나의 현이 들어간다.
중심각
중심각은 꼭짓점이 원의 중심이고 두 변이 반지름 방향인 각이다. 어느 호에 대응하는 각인지 정하면 호의 길이와 부채꼴 넓이를 계산할 수 있다.
부채꼴
부채꼴은 원의 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형이다. 넓이와 호의 길이는 중심각이 전체 회전에서 차지하는 비율로 구할 수 있다.
현 (기하학)
현은 원주 위의 두 점을 잇는 선분이다. 원의 중심을 지나는 현은 지름이며, 한 원에서 지름은 가장 긴 현이다. 원주를 따라가는 호와는 다르다.
호 (기하학)
호는 원주 위에서 두 점을 잇는 원주의 한 부분이다. 같은 두 끝점 사이에도 두 방향의 호가 있으므로 어느 부분을 뜻하는지 구별해야 한다. 호의 길이는 곡선을 따라 잰 길이다.
큰 수의 법칙
큰 수의 법칙은 적절한 조건에서 관측값의 평균이 표본 크기가 커질수록 기댓값에 가까워진다는 정리다. 대수의 법칙이라고도 부르며, 유한한 시행에서 오차가 반드시 사라진다는 뜻은 아니다.
표준오차
표준오차는 추정량의 표집분포가 갖는 표준편차다. 같은 절차로 표본을 반복해서 얻을 때 추정값이 얼마나 변동하는지 나타내며, 개별 관측값의 산포를 나타내는 표준편차와 구별한다.
표본평균
표본평균은 표본에 포함된 관측값을 모두 더해 관측값의 개수로 나눈 값이다. 모집단의 평균을 추정할 때 사용하는 통계량이며, 표본을 다시 뽑으면 그 값도 달라질 수 있다.
누적분포함수
누적분포함수는 확률변수 X가 x 이하의 값을 가질 확률을 x에 대응시키는 함수다. F(x)=P(X≤x)로 정의하며 이산형과 연속형 분포를 모두 표현할 수 있다.
중심극한정리
중심극한정리는 적절한 조건에서 많은 확률변수의 합이나 평균을 중심과 크기에 맞춰 정규화하면 그 분포가 정규분포에 가까워진다는 정리다. 개별 관측값의 분포가 정규분포가 된다는 뜻은 아니다.
표준정규분포
표준정규분포는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포다. N(0,1)로 나타내며, 다른 정규분포의 구간 확률을 표준화하여 계산할 때 기준으로 사용한다.
균등분포
균등분포는 모형이 정한 범위에서 같은 크기의 선택지나 구간에 같은 확률을 부여하는 분포다. 유한한 값들에 같은 확률을 주는 이산형과 일정한 구간에서 밀도가 일정한 연속형을 구분한다.
이항분포
이항분포는 성공 확률이 p인 독립적인 베르누이 시행을 n번 했을 때 성공 횟수의 확률분포다. 가능한 값은 0부터 n까지의 정수이며, 시행 횟수와 성공 확률을 모수로 갖는다.
정규분포
정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 밀도를 갖는 연속확률분포다. 평균 μ와 양의 분산 σ²로 정해지며, 표준화하면 평균 0과 분산 1인 표준정규분포가 된다.
베르누이 시행
베르누이 시행은 결과를 성공과 실패 두 가지로 구분하는 확률 시행이다. 성공 확률을 p로 두면 실패 확률은 1−p다. 성공이라는 이름은 분석에서 선택한 결과를 가리키며 가치 판단을 뜻하지 않는다.
확률분포
확률분포는 확률변수가 어떤 값을 얼마나 가능하게 갖는지 나타내는 규칙이다. 이산형에서는 각 값의 확률을, 밀도를 갖는 연속형에서는 구간에 대한 확률을 계산하는 방식으로 표현할 수 있다.
확률변수
확률변수는 확률 실험의 결과에 수를 대응시키는 함수다. 예를 들어 동전을 두 번 던진 결과를 앞면의 개수로 바꾸어 나타낼 수 있다. 확률변수가 가질 수 있는 값과 각 값에 배정되는 확률은 구분한다.
독립사건
독립사건은 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는 관계에 있는 사건들이다. 두 사건 A와 B의 독립 조건은 P(A∩B)=P(A)P(B)로 나타낸다.
배반사건
배반사건은 동시에 일어날 수 없는 사건들이다. 두 사건 A와 B의 교집합이 공집합이면 서로 배반이라고 한다. 배반사건의 합사건 확률은 각 확률의 합이다.
표본공간
표본공간은 확률 모형에서 고려하는 모든 가능한 결과의 집합이다. 사건은 표본공간의 부분집합으로 나타낸다. 표본공간을 정하는 것과 각 결과에 확률을 배정하는 것은 서로 다른 단계다.
곱집합
곱집합은 두 집합에서 원소를 하나씩 골라 순서쌍으로 만든 집합이다. A×B의 원소 (a,b)는 a가 A에, b가 B에 속해야 한다. 두 좌표의 순서는 구분한다.
대칭차
대칭차는 두 집합 중 정확히 한쪽에만 속하는 원소들의 집합이다. A△B로 나타내며 두 집합의 합집합에서 교집합을 뺀 것과 같다.
전단사함수
전단사함수는 단사이면서 전사인 함수다. 공역의 각 원소가 정의역의 원소와 정확히 하나씩 대응하므로 일대일대응이라고도 부른다. 전체 공역에서 역함수를 정의할 수 있다.
전사함수
전사함수는 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 입력에 대한 함수값으로 나타나는 함수다. 치역과 공역이 같다는 조건으로 나타낼 수 있다.
단사함수
단사함수는 서로 다른 입력을 서로 다른 출력에 대응시키는 함수다. 일대일함수라고도 부른다. f(a)=f(b)이면 반드시 a=b라는 조건으로도 표현할 수 있다.
기함수
기함수는 정의역이 0을 중심으로 대칭이고 모든 입력 x에 대해 f(−x)=−f(x)를 만족하는 함수다. 실수값 함수의 그래프는 원점에 대해 대칭이다.
우함수
우함수는 정의역이 0을 중심으로 대칭이고 모든 입력 x에 대해 f(−x)=f(x)를 만족하는 함수다. 실수값 함수의 그래프는 y축에 대해 대칭이다.
주기함수
주기함수는 입력을 일정한 양만큼 옮겨도 함수값이 반복되는 함수다. 양수 T에 대해 f(x+T)=f(x)가 정의역 전체에서 성립하면 T를 주기라고 한다.
파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은 각 줄 양 끝에 1을 놓고 안쪽 수를 바로 위 두 수의 합으로 만드는 삼각형 배열이다. 맨 위를 0번째 줄로 세면 n번째 줄에는 이항계수 C(n,0)부터 C(n,n)까지가 놓인다.
합성함수
합성함수는 한 함수를 적용한 결과에 다른 함수를 다시 적용하여 만든 함수다. (g∘f)(x)=g(f(x))로 쓰며, 먼저 f를 적용하고 그다음 g를 적용한다.
항등함수
항등함수는 집합의 각 원소를 그 원소 자신에게 대응시키는 함수다. 실수에서 f(x)=x가 대표적인 예다. 입력을 그대로 돌려주지만 모든 입력에 같은 값을 주는 상수함수와는 다르다.
상수함수
상수함수는 정의역의 모든 입력에 같은 값을 대응시키는 함수다. 보통 f(x)=c로 나타낸다. 실수의 구간을 정의역으로 하는 경우 그래프는 수평선 또는 그 일부가 된다.
이차함수
이차함수는 y=ax²+bx+c, a≠0으로 나타내는 함수다. 실수 전체에서 그래프는 포물선이며, 이차항의 계수와 꼭짓점의 위치에 따라 모양과 위치를 설명할 수 있다.
일차함수
일차함수는 실수 범위에서 보통 y=ax+b, a≠0으로 나타내는 함수다. 그래프는 직선이며 a는 기울기, b는 y절편을 나타낸다.
나머지 정리
나머지 정리는 다항식 f(x)를 일차식 x−a로 나누었을 때의 나머지가 f(a)라는 정리다. 다항식을 실제로 길게 나누지 않고도 특정 일차식에 대한 나머지를 계산할 수 있다.
인수 정리
인수 정리는 다항식 f(x)에 대해 f(a)=0인 것과 x−a가 f(x)의 인수인 것이 동치라는 정리다. 방정식의 해와 다항식의 일차 인수를 연결한다.
판별식
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 판별식은 D=b²−4ac다. 실수 계수이고 a가 0이 아닐 때 판별식의 부호로 서로 다른 실근의 수를 구분할 수 있다.
계수
계수는 식의 항에서 정해진 변수 부분에 곱해진 수나 식이다. 3x²에서 x²의 계수는 3이다. 여러 변수가 있는 식에서는 어느 변수를 기준으로 정리하는지에 따라 계수를 읽는 방식이 달라진다.
상수항
상수항은 다항식을 특정 변수에 대해 정리했을 때 그 변수를 포함하지 않는 항이다. 한 변수 x의 다항식에서는 x⁰의 계수에 해당하며, x에 0을 대입한 값과 같다.
단항식
단항식은 상수와 변수들의 음이 아닌 정수 거듭제곱을 곱한 하나의 항으로 이루어진 식이다. 예를 들어 3x²y는 단항식이며, 여러 단항식을 더한 식은 다항식으로 나타낼 수 있다.
이항정리
이항정리는 두 항의 합을 음이 아닌 정수만큼 거듭제곱한 식을 이항계수로 전개하는 정리다. (a+b)ⁿ에서 aⁿ⁻ᵏbᵏ의 계수는 C(n,k)다.
계승
계승은 음이 아닌 정수 n에 대해 1부터 n까지의 정수를 모두 곱한 값이다. n!로 나타내며 팩토리얼이라고도 부른다. 0!은 1로 정의한다.
이항계수
이항계수는 서로 다른 n개 가운데 순서를 구분하지 않고 k개를 고르는 경우의 수다. 0≤k≤n인 정수에 대해 n!/(k!(n−k)!)로 계산하며, 이항식의 거듭제곱을 전개할 때 계수로 나타난다.