문서 둘러보기
에너지 등분배 정리
에너지 등분배 정리는 고전적 열평형에서 에너지에 독립적인 이차항으로 들어가는 각 자유도에 평균 k_BT/2가 배정된다는 정리다. 모든 형태의 에너지가 무조건 같은 양으로 나뉜다는 주장은 아니며, 양자 효과가 중요한 조건에서는 적용에 주의해야 한다.
카르노 정리
카르노 정리는 같은 두 열원 사이에서 작동하는 열기관의 효율에 대한 한계를 정한다. 어떤 기관도 그 두 열원 사이의 가역 기관보다 효율이 높을 수 없으며, 가역 기관들의 효율은 작업 물질과 무관하게 같다.
핵분열
핵분열은 무거운 원자핵이 둘 이상의 더 작은 핵으로 갈라지는 과정이다. 반응에 따라 중성자와 에너지가 방출되며, 같은 모핵에서도 여러 종류의 분열 생성물이 나올 수 있다.
핵융합
핵융합은 가벼운 원자핵들이 결합해 더 무거운 핵을 만드는 과정이다. 에너지 방출 여부는 반응 전후의 질량과 결합 상태에 따라 달라지며, 별 내부에서는 핵융합 반응들이 에너지 공급에 중요한 역할을 한다.
알파 붕괴
알파 붕괴는 원자핵이 양성자 두 개와 중성자 두 개로 이루어진 알파 입자를 방출하는 방사성 붕괴다. 딸핵의 원자번호는 모핵보다 2, 질량수는 4만큼 작아진다.
PN 접합
PN 접합은 p형과 n형 반도체가 맞닿는 경계 구조다. 경계 부근의 운반자 확산으로 공핍층과 내부 전기장이 생기며, 외부 전압의 방향에 따라 전류가 흐르는 정도가 크게 달라진다.
반도체 도핑
반도체 도핑은 불순물 원자를 의도적으로 넣어 전하 운반자의 종류와 농도를 조절하는 과정이다. 도너는 전도 전자를, 억셉터는 정공을 늘리는 데 쓰이며, n형과 p형이라는 이름은 다수 운반자의 부호를 나타낸다.
초전도
초전도는 특정 조건에서 물질이 전기 저항이 없는 상태와 특유의 자기적 응답을 보이는 현상이다. 임계온도뿐 아니라 자기장과 전류의 한계도 중요하며, 단순히 저항이 작은 좋은 도체와 구별된다.
겉보기 깊이
겉보기 깊이는 굴절하는 경계 너머의 물체를 볼 때 광선의 연장선이 출발하는 것처럼 보이는 깊이다. 평평한 경계에 거의 수직으로 관측할 때 h_app≈(n_observer/n_object)h_actual로 근사한다.
구면거울
구면거울은 구면의 일부를 반사면으로 사용하는 거울이다. 안쪽이 반사면인 오목거울과 바깥쪽이 반사면인 볼록거울로 나뉘며, 광축에 가까운 광선에서는 초점거리와 곡률반지름 사이에 f=R/2의 관계를 쓴다.
얇은 렌즈 방정식
얇은 렌즈 방정식은 근축 근사에서 물체거리 d_o, 상거리 d_i, 초점거리 f를 1/f=1/d_o+1/d_i로 연결하는 식이다. 두께를 무시할 수 있는 렌즈와 일관된 거리 부호 규약을 가정한다.
단일 슬릿 회절
단일 슬릿 회절은 하나의 좁은 틈 안의 여러 지점에서 나온 파동들이 간섭해 퍼지는 무늬를 만드는 현상이다. 균일하게 비춘 폭 a의 슬릿을 원거리에서 보면 어두운 방향은 a sinθ=mλ, m=±1,±2,…를 만족한다.
레일리 기준
레일리 기준은 두 점광원의 회절 무늬에서 한 중심 극대가 다른 무늬의 첫 극소에 놓일 때를 분해의 경계로 보는 기준이다. 이상적인 원형 개구의 작은 각 근사에서는 θ_R≈1.22λ/D이며 D는 개구 지름이다.
브래그 법칙
브래그 법칙은 결정의 격자면들에서 산란된 파동이 보강되는 조건을 nλ=2d sinθ로 나타낸 것이다. d는 면 사이 간격이고 θ는 입사 파동이 격자면 자체와 이루는 각이다. 보통의 굴절 문제에서 법선을 기준으로 재는 각과 다르다.
박막 간섭
박막 간섭은 얇은 막의 위아래 경계 등 서로 다른 경로에서 반사된 빛이 겹치며 세기가 달라지는 현상이다. 막을 왕복하는 광학적 경로차뿐 아니라 반사 때의 위상 변화도 함께 고려해야 한다.
이중 슬릿 간섭
이중 슬릿 간섭은 두 좁은 틈을 지난 결맞은 파동이 겹치며 밝고 어두운 무늬를 만드는 현상이다. 같은 위상으로 비춘 두 슬릿의 원거리 무늬에서는 경로차 d sinθ가 파장의 정수배일 때 밝은 줄무늬가 나타난다.
회절 격자
회절 격자는 일정한 간격으로 반복되는 많은 틈이나 홈을 이용해 파장에 따라 빛을 다른 방향으로 보내는 광학 소자다. 수직 입사의 기본 모형에서는 주극대 방향이 d sinθ=mλ를 만족해 분광에 사용된다.
브루스터 각
브루스터 각은 두 비자성 유전체의 경계에서 입사면에 평행한 p편광의 반사가 사라지는 입사각이다. 이상적인 비흡수 매질에서는 tanθ_B=n₂/n₁이며, 각은 입사 매질 쪽 법선을 기준으로 잰다.
스넬의 법칙
스넬의 법칙은 두 매질의 경계에서 빛의 입사각과 굴절각을 굴절률로 연결하는 법칙이다. n₁sinθ₁=n₂sinθ₂로 쓰며 두 각은 경계면 자체가 아니라 경계에 수직인 법선을 기준으로 잰다.
양자 복제 불가 정리
양자 복제 불가 정리는 임의의 알려지지 않은 양자상태를 그대로 보존하면서 완벽한 복사본을 만들어 내는 보편적인 장치가 존재할 수 없다는 정리다. 모든 종류의 정보 복사나 미리 정해진 상태 준비를 금지하는 명제는 아니다.
양자 얽힘
양자 얽힘은 여러 부분계의 상태가 고전적인 공유 무작위성만으로는 설명되지 않는 양자적 상관관계를 갖는 성질이다. 순수상태에서는 전체 상태를 각 부분계 상태의 텐서곱 하나로 분해할 수 없을 때 얽혀 있다고 한다.
양자 중첩
양자 중첩은 양자상태를 선택한 기저 상태들의 선형결합으로 나타내는 성질이다. 계수는 확률 자체가 아니라 복소수 확률진폭이며, 서로 다른 성분의 상대 위상 때문에 고전적인 확률 혼합과 다른 간섭을 보일 수 있다.
방사성 붕괴
방사성 붕괴는 불안정한 원자핵이 입자나 전자기 복사를 내보내며 다른 핵종이나 에너지 상태로 전이하는 현상이다. 개별 핵의 붕괴 시점은 확률적이지만 많은 핵의 집단에서는 붕괴상수에 따른 지수적 감소를 관측한다.
핵 결합에너지
핵 결합에너지는 원자핵을 구성하는 양성자와 중성자로 완전히 분리하는 데 필요한 에너지다. 분리된 핵자들의 질량 합과 결합한 원자핵의 질량 차인 질량 결손 Δm에 대해 B=Δmc²로 나타낸다.
궤도 자기모멘트
전자의 궤도 자기모멘트는 궤도 각운동량에 연결된 자기쌍극자 모멘트다. 전자에 대해 μ_L=−(e/2m_e)L이며 음의 전하 때문에 방향이 각운동량과 반대다. 전자 고유의 스핀 자기모멘트와는 별개의 기여다.
양자수
양자수는 양자계의 상태를 구별하고 물리량의 허용값을 나타내는 표지다. 원자의 전자 상태에서는 주양자수 n, 궤도 각운동량 양자수 l, 자기양자수 m_l, 스핀 자기양자수 m_s를 함께 사용한다.
전자 스핀
전자 스핀은 전자가 갖는 고유 각운동량이다. 전자의 스핀 양자수는 s=1/2이고 선택한 축으로 측정한 성분은 ±ℏ/2 두 값이다. 이를 작은 구가 고전적으로 자전하는 그림과 완전히 같다고 해석할 수는 없다.
상자 속 입자
상자 속 입자는 입자가 유한한 구간 안에 갇힌 양자계 모형이다. 가장 기본적인 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서는 양끝에서 파동함수가 0이 되어 허용 에너지가 불연속적으로 정해진다.
양자 조화진동자
양자 조화진동자는 퍼텐셜 U(x)=mω²x²/2를 갖는 양자계다. 1차원 에너지는 Eₙ=(n+1/2)ℏω, n=0,1,2,…로 정해져 등간격이며, 바닥상태에도 ℏω/2의 영점에너지가 남는다.
파동함수
파동함수는 양자상태를 위치 등의 표현에서 나타내는 확률진폭이다. 입자 하나의 위치 표현에서는 |Ψ(x,t)|²가 확률밀도이며, 일정 구간에서 입자를 찾을 확률은 그 구간에 대해 밀도를 적분해 얻는다.
광자
광자는 전자기장의 양자이며 빛이 물질과 에너지와 운동량을 교환할 때 사용하는 기본입자 개념이다. 가시광선뿐 아니라 전파, 적외선, 엑스선도 광자로 기술할 수 있다. 진동수가 높고 파장이 짧을수록 광자 하나의 에너지가 크다.
띠 이론
띠 이론은 고체의 전자가 가질 수 있는 에너지를 허용띠와 그 사이의 띠틈으로 설명하는 이론이다. 결정의 주기적인 퍼텐셜을 고려하며 띠의 채움과 가까운 빈 상태의 존재로 금속, 반도체, 절연체의 전기적 차이를 이해한다.
자유전자 모형
자유전자 모형은 금속의 전도전자를 고체 안에서 거의 자유롭게 움직이는 전자 기체로 근사하는 모형이다. 양자적인 모형에서는 파울리 배타 원리를 적용해 낮은 에너지 상태부터 전자를 채우며 금속의 전자적 성질을 설명한다.
슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적 양자계의 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지 정하는 방정식이다. 일반적인 표기는 iℏ∂Ψ/∂t=ĤΨ이며, Ĥ는 계의 에너지를 나타내는 해밀토니안 연산자다.
글루온
글루온은 강한 상호작용을 매개하는 기본입자다. 전기전하는 없지만 색전하를 가지며 쿼크와 상호작용한다. 여기서 색은 눈에 보이는 색깔이 아니라 양자색역학에서 쓰는 전하 종류의 이름이다.
중성미자
중성미자는 전기전하가 없고 물질과 매우 드물게 상호작용하는 기본입자다. 전자형, 뮤온형, 타우형의 세 맛이 알려져 있으며, 입자 붕괴와 별 내부 반응 등 다양한 과정에서 생성된다. 전하가 없다는 이유만으로 중성자와 같은 입자는 아니다.
보손
보손은 스핀 양자수가 0,1,2처럼 정수인 입자다. 동일한 보손 여러 개는 같은 한 입자 양자상태를 점유할 수 있다. 광자와 글루온, W와 Z 보손, 힉스 보손이 기본입자의 예이며 스핀 값은 서로 같지 않다.
페르미온
페르미온은 스핀 양자수가 1/2, 3/2, 5/2처럼 반정수이고 파울리 배타 원리를 따르는 입자다. 전자와 쿼크 같은 기본입자뿐 아니라 양성자와 중성자 같은 복합입자도 페르미온에 해당한다.
물질파
물질파는 전자처럼 질량을 가진 입자도 파동적인 성질을 보인다는 개념이다. 운동량의 크기 p와 대응 파장 λ는 드브로이 관계 λ=h/p로 연결된다. 전자 회절은 물질의 파동적 성질을 보여 주는 대표적인 현상이다.
불확정성 원리
불확정성 원리는 양자상태에서 위치와 운동량처럼 서로 교환하지 않는 물리량들의 분산에 하한이 있다는 원리다. 한 방향의 위치와 운동량에 대해 표준편차는 ΔxΔp_x≥ℏ/2를 만족하며, 단순히 측정기 정밀도가 부족해서 생기는 오차를 뜻하지 않는다.
양자 터널링
양자 터널링은 입자의 에너지보다 높은 유한한 퍼텐셜 장벽을 통과할 확률이 생기는 양자 현상이다. 장벽 안에서 파동함수가 감쇠하더라도 반대편까지 이어질 수 있으며, 정적인 장벽을 통과하는 동안 에너지를 잠시 빌리는 과정은 아니다.
광전 효과
광전 효과는 빛을 흡수한 물질에서 전자가 방출되는 현상이다. 금속 표면의 단일 광자 광전 효과에서는 빛의 진동수가 문턱값을 넘어야 하며, 방출 전자의 최대 운동에너지는 빛의 세기보다 광자 하나의 에너지에 의해 결정된다.
컴프턴 효과
컴프턴 효과는 광자가 전자와 에너지와 운동량을 주고받으며 산란되어 파장이 달라지는 현상이다. 처음 정지한 자유전자와의 산란에서는 광자가 에너지를 잃고 파장이 길어지며, 그 변화량은 산란각으로 결정된다.
파울리 배타 원리
파울리 배타 원리는 동일한 페르미온 두 개가 같은 한 입자 양자상태를 동시에 점유할 수 없다는 원리다. 원자에서는 두 전자의 네 양자수 n,l,m_l,m_s가 모두 같을 수 없다는 형태로 나타난다.
드바이 모형
드바이 모형은 고체의 저주파 격자 진동을 연속체의 음파처럼 근사하고 진동 모드 수를 맞추는 최대 진동수를 두는 모형이다. 3차원 결정에서 충분히 낮은 온도의 격자 열용량이 T³에 비례하는 이유를 설명한다.
아인슈타인 고체 모형
아인슈타인 고체 모형은 고체의 격자 진동을 같은 진동수를 갖는 독립적인 양자 조화진동자들로 근사하는 열용량 모형이다. 고온에서는 고전적인 값으로 접근하고 저온에서는 열용량이 작아지는 현상을 설명하지만 실제 저온의 T³ 법칙은 재현하지 못한다.
포논
포논은 결정의 집단적인 격자 진동을 양자화했을 때 나타나는 에너지 들뜸의 단위다. 원자 하나가 따로 날아다니는 입자가 아니라 많은 원자들이 함께 진동하는 정상모드를 준입자로 표현한 것이다.
이차 수체
이차 수체는 유리수체 ℚ 위의 확대 차수가 2인 수체다. 제곱인수가 없는 정수 d≠0,1에 대해 ℚ(√d)로 나타낼 수 있고 모든 원소는 유리수 a,b를 써서 a+b√d로 유일하게 표현된다.
체의 대각합
유한 체 확대 L/K에서 원소 α의 체의 대각합은 L 위의 곱셈 선형사상 x↦αx를 K계수 행렬로 나타냈을 때 그 행렬의 대각합이다. 기저 선택에 무관하며 Tr_{L/K}(α)로 쓴다.
대수적 정수
대수적 정수는 최고차항 계수가 1인 정수계수 다항식의 근인 복소수다. 모든 정수는 대수적 정수이며 √2와 i도 포함된다. 하지만 대수적 수가 모두 대수적 정수인 것은 아니고, 유리수 중 대수적 정수는 보통의 정수뿐이다.
수체
수체는 유리수체 ℚ의 유한 확대다. 즉 ℚ 위의 벡터공간으로서 차원이 유한한 체이며, 모든 원소는 유리수체 위에서 대수적이다. 유한체와 달리 원소의 개수 자체는 무한하다.
분수체
정역 R의 분수체는 R의 원소 a,b에 대해 b≠0인 분수 a/b들을 모아 만든 체다. R을 포함하고 모든 0 아닌 원소로 나눌 수 있도록 확장한 체이며, 정수환의 분수체는 유리수체다.
원시원소 (체론)
체 확대 L/K의 원시원소는 L=K(α)가 되게 하는 원소 α다. 여러 원소를 첨가해 만든 체를 원소 하나로 생성할 수 있음을 나타내며, 여기서 생성은 체 연산 전체를 허용하는 의미다.
갈루아 확대
갈루아 확대는 정규성과 분리성을 모두 만족하는 대수적 체 확대다. 유한 갈루아 확대 L/K에서는 K를 고정하는 체 자기동형들의 개수가 확대 차수 [L:K]와 같으며, 이 자기동형들이 갈루아 군을 이룬다.
분리 확대
분리 확대는 대수적 확대 L/K의 모든 원소가 K 위에서 서로 다른 근만 갖는 최소다항식을 가지는 경우다. 중근 여부는 충분히 큰 분해체에서 판단하며, 원소의 최소다항식이 L 안에서 완전히 분해될 필요는 없다.
정규 확대
정규 확대는 K 위의 대수적 확대 L 가운데 K계수 기약다항식이 L에 근 하나를 가지면 L에서 완전히 일차 인자로 분해되는 확대다. 유한 확대에서는 어떤 K계수 다항식의 분해체가 되는 것과 동치다.
갈루아 군
체 확대 L/K의 갈루아 군은 L의 체 자기동형 가운데 K의 모든 원소를 고정하는 것들을 모은 군이다. 연산은 사상의 합성이며 Gal(L/K) 또는 Aut_K(L)로 쓴다. 다항식의 근 사이에서 허용되는 대수적 대칭을 나타낸다.
대수적 폐포
체 K의 대수적 폐포는 K의 대수적 확대이면서 대수적으로 닫힌 체다. 그 체 위의 모든 비상수 다항식이 일차식들의 곱으로 분해된다. 하나의 다항식만을 위한 분해체와 달리 체 전체의 대수적 확장을 다룬다.
분해체
체 K 위의 0 아닌 다항식 f의 분해체는 f가 일차식들의 곱으로 완전히 분해되는 K의 확대체 중 모든 근으로 생성되는 체다. 모든 근을 포함한다는 조건뿐 아니라 그보다 작은 중간체에서는 완전히 분해되지 않는 최소성도 필요하다.
대수적 원소
체 확대 L/K에서 α∈L이 K계수의 0 아닌 다항식의 근이면 α를 K 위의 대수적 원소라고 한다. 그런 다항식이 하나도 없으면 초월적 원소다. 대수적이라는 성질은 기준이 되는 체 K에 상대적이다.
최소다항식 (체론)
K 위의 대수적 원소 α의 최소다항식은 α를 근으로 갖는 K계수의 유일한 일계수 기약다항식이다. α에서 0이 되는 0 아닌 다항식들 중 차수가 가장 작으며, 이들을 모두 나누는 생성원 역할을 한다.
체의 확대
체의 확대 L/K는 K를 부분체로 포함하는 체 L과 그 포함 관계를 말한다. L을 K 위의 벡터공간으로 볼 수 있으며 그 차원 [L:K]를 확대 차수라고 한다. 이 표기는 몫체를 뜻하는 분수 기호가 아니다.
기약다항식
체 K 위의 기약다항식은 차수가 양수이고 K계수의 양의 차수 다항식 두 개의 곱으로 분해할 수 없는 다항식이다. 기약성은 계수체에 따라 달라지므로 어떤 체 위에서 판단하는지를 함께 지정해야 한다.
다항식환
다항식환 R[x]는 환 R의 원소를 계수로 갖는 형식적 다항식들을 모아 만든 환이다. 각 다항식에는 0 아닌 계수가 유한 개만 나타나며, 덧셈과 곱셈은 같은 차수의 계수를 더하고 분배법칙에 따라 전개하는 방식으로 정의한다.
유한체
유한체는 원소가 유한 개 있는 체다. 원소 개수는 반드시 소수 p의 거듭제곱 pⁿ이며, 각 소수 거듭제곱 크기에 대해 동형을 제외하면 유일한 유한체가 존재한다. 보통 𝔽_q 또는 GF(q)로 쓴다.
가우스 정수
가우스 정수는 실수부와 허수부가 모두 정수인 복소수 a+bi다. 이들의 집합 ℤ[i]는 환을 이루며, 정수와 비슷하게 유일 인수분해가 성립한다. 다만 가역원이 ±1뿐 아니라 ±i도 있다는 차이가 있다.
기약원소
정역의 기약원소는 0도 가역원도 아니면서 두 원소의 곱으로 나타낼 때 적어도 한 인자가 가역원이어야 하는 원소다. 더 작은 두 비가역원으로 쪼갤 수 없다는 뜻이며, 일반적인 정역에서는 소원소와 구별된다.
소원소
정역의 소원소는 0도 가역원도 아니며, 곱 ab를 나누면 a나 b 가운데 적어도 하나를 나누는 원소다. 정수에서 소수가 갖는 나눗셈 성질을 일반화한 개념이며 p가 생성한 주아이디얼 (p)가 소아이디얼인 것과 동치다.
유일 인수분해 정역
유일 인수분해 정역은 0도 가역원도 아닌 모든 원소가 기약원소들의 유한한 곱으로 분해되고, 그 분해가 인자의 순서와 가역원 배수를 제외하면 유일한 정역이다. 영어 약자로 UFD라고 한다.
유클리드 정역
유클리드 정역은 0 아닌 원소에 음이 아닌 정수값을 주는 함수를 두어 나눗셈의 나머지를 더 작게 만들 수 있는 정역이다. b≠0이면 a=bq+r로 쓰되 r=0이거나 δ(r)<δ(b)가 되도록 한다.
주아이디얼 정역
주아이디얼 정역은 모든 아이디얼이 원소 하나로 생성되는 정역이다. 영어 약자로 PID라고 한다. 정수환과 체 위의 한 변수 다항식환이 예이며, 최대공약수를 생성 아이디얼로 표현할 수 있다.
가역원
가역원은 곱셈 항등원 1을 갖는 환에서 양쪽 곱셈 역원을 갖는 원소다. a가 가역원이면 어떤 b가 있어 ab=ba=1이다. 환의 가역원 전체는 곱셈에 대해 군을 이루며, 0이 아닌 모든 원소가 가역원인 가환환은 체다.
주아이디얼
주아이디얼은 원소 하나로 생성되는 아이디얼이다. 곱셈 항등원을 갖는 가환환 R에서 a가 생성하는 주아이디얼은 (a)=aR={ar:r∈R}로 쓴다. 한 아이디얼을 생성하는 원소가 유일할 필요는 없다.
체의 표수
체의 표수는 곱셈 항등원 1을 반복해서 더할 때 처음 0이 되는 양의 반복 횟수다. 그런 횟수가 없으면 표수를 0이라고 한다. 체의 표수는 0이거나 소수이며, 체의 원소 개수와는 다른 개념이다.
극대 아이디얼
극대 아이디얼은 환 전체보다 작은 아이디얼 M 가운데 M과 환 R 사이에 다른 아이디얼이 없는 것이다. 곱셈 항등원을 갖는 가환환에서는 R/M이 체인 것과 동치이며, 모든 극대 아이디얼은 소아이디얼이다.
소아이디얼
소아이디얼은 곱셈 항등원을 갖는 가환환 R의 진아이디얼 P 가운데 ab∈P이면 a∈P 또는 b∈P가 되는 아이디얼이다. 몫환 R/P가 정역이라는 조건과 동치이며, 소수의 나눗셈 성질을 환의 아이디얼로 확장한다.
영인수
영인수는 환에서 0이 아닌 다른 원소와 곱해 0이 되는 0 아닌 원소다. 이 문서에서는 0 자체는 영인수에서 제외한다. 곱이 0이라는 이유만으로 한 인자를 0이라고 결론 내릴 수 없는 현상을 나타낸다.
몫환
몫환 R/I는 환 R의 원소들을 양쪽 아이디얼 I에 대한 잉여류로 묶어 만든 환이다. a와 b의 차가 I에 속하면 같은 원소로 취급하며, 덧셈과 곱셈은 대표원들의 연산으로 정의한다.
아이디얼
아이디얼은 환의 덧셈 부분군이면서 환의 원소를 곱해도 그 안에 머무는 부분집합이다. 양쪽 아이디얼 I는 r∈R, a∈I에 대해 ra와 ar가 모두 I에 속한다. 이를 이용해 몫환 R/I를 정의한다.
정역
정역은 1≠0인 곱셈 항등원을 갖는 가환환 가운데 영인수가 없는 환이다. 즉 ab=0이면 a=0 또는 b=0이어야 한다. 정수환은 정역이지만 모든 0 아닌 원소의 곱셈 역원이 있는 체는 아니다.
p-군
p-군은 고정된 소수 p에 대해 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱인 군이다. 유한군에서는 군의 위수가 pⁿ인 것과 동치다. 여기서 n은 0 이상인 정수이며 항등원의 위수 1도 p⁰으로 포함한다.
멱영군
멱영군은 중심을 차례로 확장해 만드는 상부 중심열이 유한 단계 안에 군 전체에 도달하는 군이다. 가환군은 멱영군이며, 사원수군처럼 가환이 아니면서 멱영인 군도 있다.
가해군
가해군은 군 전체에서 항등원 부분군까지 내려가는 유한한 부분군 열을 잡되, 각 단계의 부분군이 바로 앞 단계에서 정규이고 그 몫군이 가환군이 되도록 할 수 있는 군이다. 군 자체가 가환군이어야 하는 것은 아니다.
사원수군
사원수군 Q₈은 사원수 1, −1, ±i, ±j, ±k의 여덟 원소로 이루어진 곱셈군이다. i²=j²=k²=ijk=−1을 만족하며 ij=k와 ji=−k이므로 가환군이 아니다.
실로 정리
실로 정리는 유한군의 소수 거듭제곱 위수 부분군의 존재와 켤레 관계, 개수를 제한하는 정리다. |G|=pᵃm이고 p가 m을 나누지 않을 때 위수 pᵃ인 부분군을 실로 p-부분군이라 한다.
가환화
군 G의 가환화는 교환자 부분군 [G,G]로 나눈 몫군 G/[G,G]와 자연스러운 몫사상이다. 비가환인 곱의 순서 차이를 몫에서 없애 가환군을 얻으며, 가환군으로 가는 모든 군 준동형은 이 몫사상을 통해 인수분해된다.
완전군
완전군은 자기 자신의 교환자 부분군과 같은 군이다. 즉 G=[G,G]이며 가환화 G/[G,G]는 자명한 군이다. 비가환 단순군은 완전군이지만 완전군이 반드시 단순군인 것은 아니다.
교환자 (군론)
군론의 교환자는 두 원소가 교환하는지를 나타내는 군 원소다. 여기서는 [a,b]=aba⁻¹b⁻¹로 정의한다. [a,b]=e인 것과 ab=ba인 것은 동치이며, 교환자의 값을 읽을 때는 사용한 정의를 확인해야 한다.
교환자 부분군
교환자 부분군 [G,G]는 군 G의 모든 교환자로 생성되는 부분군이다. G의 정규부분군이며 몫군 G/[G,G]는 가환군이다. G가 이미 가환군이면 교환자 부분군은 항등원만으로 이루어진다.
정규화군
군 G의 부분군 H의 정규화군 N_G(H)는 gHg⁻¹=H를 만족하는 G의 원소 g 전체다. H를 켤레로 옮겨도 같은 부분군으로 유지하는 원소들을 모은 군이며 H는 그 안에서 정규부분군이 된다.
단순군
단순군은 자명한 군이 아니면서 정규부분군이 항등원만의 부분군과 군 전체 두 개뿐인 군이다. 모든 부분군이 없어야 한다는 뜻은 아니며, 정규성이 없는 부분군은 존재할 수 있다.
순열의 순환 분해
순열의 순환 분해는 유한집합의 순열을 서로 겹치지 않는 순환들의 곱으로 나타내는 방법이다. 각 순환은 원소가 순열을 반복 적용받으며 차례로 이동하다가 출발점으로 돌아오는 경로를 기록한다.
교대군
교대군 Aₙ은 n개 원소의 순열 중 짝순열만 모은 군이다. 대칭군 Sₙ의 정규부분군이며 n≥2일 때 위수는 n!/2다. 여기서 짝순열이란 짝수 개의 전치를 합성해서 나타낼 수 있는 순열을 뜻한다.
전치 (순열)
순열에서 전치는 서로 다른 두 원소를 맞바꾸고 나머지는 그대로 두는 순열이다. 보통 (a b)로 쓰며 같은 전치를 두 번 합성하면 항등순열이 된다. 모든 유한 순열은 전치들의 합성으로 나타낼 수 있다.
클라인 사원군
클라인 사원군은 원소가 네 개이며 비항등원 세 개의 위수가 모두 2인 군이다. 2원소 순환군 두 개의 직접곱 C₂×C₂로 나타낼 수 있고, 원소가 네 개인 순환군 C₄와는 동형이 아니다.
군의 직접곱
군의 직접곱 G×H는 순서쌍들의 집합에 좌표별 군 연산을 준 구조다. (g₁,h₁)(g₂,h₂)=(g₁g₂,h₁h₂)로 계산하며 각 좌표에서는 해당 군의 연산을 사용한다.
류 방정식 (군론)
군론의 류 방정식은 유한군의 원소 수를 중심의 크기와 중심 밖 켤레류들의 크기의 합으로 나타낸 식이다. 각 비중심 켤레류에서 대표원 aᵢ를 하나씩 고르면 |G|=|Z(G)|+Σᵢ[G:C_G(aᵢ)]이다.
코시 정리 (군론)
군론의 코시 정리는 유한군 G의 위수를 나누는 소수 p에 대해 위수가 p인 원소가 G 안에 존재한다는 정리다. 그 원소가 생성하는 순환부분군의 위수도 p이므로 소수 위수의 부분군 존재를 함께 보장한다.
중심화군
중심화군은 군의 특정 원소 또는 부분집합의 모든 원소와 교환하는 군 원소들을 모은 부분군이다. 한 원소 a에 대해 C_G(a)={g∈G | ga=ag}로 나타낸다. 군 전체와 교환해야 하는 중심보다 조건이 약하다.
켤레류
켤레류는 군의 한 원소 a를 gag⁻¹ 꼴로 바꾸어 얻는 모든 원소들의 집합이다. 여기서 g는 군 전체를 움직인다. 같은 켤레류에 속한다는 관계는 동치관계이며 군을 서로 겹치지 않는 켤레류들로 분할한다.