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중심 (군론)
군의 중심 Z(G)는 G의 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합이다. Z(G)={z∈G | zg=gz, 모든 g∈G}로 나타낸다. 군의 연산이 얼마나 가환적인지와 관련되지만 도형의 중앙에 놓인 점을 가리키는 말은 아니다.
케일리 정리 (군론)
군론의 케일리 정리는 모든 군이 어떤 순열군과 동형으로 나타날 수 있다는 정리다. 특히 원소가 n개인 유한군은 n개 원소 집합의 대칭군 Sₙ의 부분군과 동형이다. 추상적인 군의 연산을 원소들의 자리 바꾸기로 표현할 수 있음을 뜻한다.
군 동형
군 동형은 두 군 사이의 연산을 보존하는 전단사 대응이다. 동형인 군은 원소의 이름이나 표현이 달라도 같은 군 구조를 갖는다. f:G→H가 전단사이고 모든 a,b∈G에서 f(ab)=f(a)f(b)이면 동형이다.
군 자기동형
군 자기동형은 한 군에서 자기 자신으로 가는 군 동형이다. 원소들을 전단사로 다시 배치하면서 군의 연산을 보존한다. 같은 군 G의 모든 자기동형은 함수 합성 아래 군을 이루며 이를 Aut(G)라고 쓴다.
위수 (군론)
군론에서 군의 위수는 군에 속한 원소의 개수이고, 군 원소의 위수는 그 원소를 반복해 연산하여 처음 항등원으로 돌아오는 양의 횟수다. 같은 용어를 사용하지만 군 전체의 크기와 특정 원소의 주기를 구분해야 한다.
핵 (군 준동형)
군 준동형 f:G→H의 핵은 H의 항등원으로 보내지는 G의 원소들의 집합이다. ker f={g∈G | f(g)=e_H}로 나타낸다. 핵은 G의 정규부분군이며 준동형이 서로 다른 원소를 얼마나 구분하는지 파악하는 데 쓰인다.
가환군
가환군은 군의 모든 원소 a와 b에 대해 ab=ba가 성립하는 군이다. 아벨군이라고도 한다. 군의 공리인 결합법칙에 더해 연산의 순서를 바꾸어도 결과가 같다는 교환법칙을 만족한다.
대칭군
대칭군 Sₙ은 n개 원소로 이루어진 집합의 모든 순열을 함수의 합성으로 결합한 군이다. 군의 원소는 자리 바꾸기라는 변환 자체이며, 유한한 경우 원소 수는 n!이다.
이면체군
이면체군은 정다각형을 제자리에 보존하는 회전과 반사로 이루어진 대칭군이다. 정n각형에 대해 회전 n개와 반사 n개가 있어 원소 수는 2n개다. 보통 Dₙ으로 쓰지만 D₂ₙ으로 쓰는 관례도 있어 표기의 기준을 확인해야 한다.
군 준동형
군 준동형은 두 군 사이에서 군의 연산을 보존하는 함수다. f:G→H가 모든 a,b∈G에 대해 f(ab)=f(a)f(b)를 만족하면 준동형이며, 왼쪽의 곱은 G에서 오른쪽의 곱은 H에서 계산한다.
몫군
몫군 G/N은 군 G의 정규부분군 N에 대한 잉여류들을 원소로 갖는 군이다. 연산은 (aN)(bN)=abN으로 정의한다. 정규성 덕분에 같은 잉여류를 나타내는 대표원을 바꾸어도 결과 잉여류가 달라지지 않는다.
순환군
순환군은 하나의 원소를 반복해서 연산하고 역원을 사용하여 모든 원소를 얻을 수 있는 군이다. 곱셈 표기에서는 G=⟨a⟩={aᵏ | k∈Z}로 나타낸다. 이때 a를 생성원이라고 하며 순환군은 유한할 수도 무한할 수도 있다.
정규부분군
정규부분군은 군 G의 부분군 N 중에서 모든 g∈G에 대해 gNg⁻¹=N을 만족하는 부분군이다. 동치인 조건은 gN=Ng가 모든 g에서 성립한다는 것이다. 여기서의 등식은 집합의 등식이지 모든 원소가 서로 교환한다는 뜻은 아니다.
부분군
부분군은 군 G의 부분집합 중에서 G의 연산을 그대로 사용하여 스스로 군이 되는 집합이다. 부분집합의 원소에 새 연산을 붙이는 것이 아니라 원래 군의 연산과 항등원 및 역원을 이어받는다는 점이 중요하다.
잉여류
잉여류는 군의 부분군에 속한 모든 원소를 같은 군 원소로 곱하여 얻는 집합이다. H≤G와 g∈G에 대해 gH={gh | h∈H}는 왼쪽 잉여류이고 Hg={hg | h∈H}는 오른쪽 잉여류다.
라그랑주 정리 (군론)
군론의 라그랑주 정리는 유한군의 부분군 크기가 원래 군의 크기를 나눈다는 정리다. 부분군 H에 대해 |G|=[G:H]|H|이며 [G:H]는 H의 왼쪽 잉여류 개수인 지수다. 군의 원소가 생성하는 순환부분군에도 적용된다.
궤도-안정자 정리
궤도-안정자 정리는 군 작용에서 한 원소가 움직일 수 있는 위치의 수와 그 원소를 고정하는 대칭의 수를 연결하는 정리다. 유한군 G가 집합 X에 작용하면 |G|=|Orb(x)||Stab(x)|이다.
군 작용
군 작용은 군의 원소를 집합의 원소를 바꾸는 변환으로 해석하되 군의 곱과 변환의 합성이 서로 맞도록 정한 구조다. 왼쪽 작용에서는 항등원 e가 e·x=x를 만족하고, g·(h·x)=(gh)·x가 모든 원소에 대해 성립한다.
번사이드 보조정리
번사이드 보조정리는 대칭으로 같다고 보는 대상들의 종류 수를 고정점 개수의 평균으로 구하는 정리다. 유한군 G가 유한집합 X에 작용할 때 궤도 수는 (1/|G|)Σ₍g∈G₎|Fix(g)|이며 Fix(g)는 g를 적용해도 변하지 않는 원소들의 집합이다.
다항계수
다항계수는 여러 종류의 항을 정해진 횟수만큼 선택하거나 배열하는 경우의 수를 나타내는 수다. n₁+⋯+nᵣ=n인 음이 아닌 정수들에 대해 n!/(n₁!⋯nᵣ!)로 정의하며 다항정리에서 대응하는 단항식의 계수가 된다.
다중집합
다중집합은 원소의 순서는 구분하지 않지만 각 원소가 나타나는 횟수는 구분하는 집합과 비슷한 대상이다. 보통의 집합과 달리 같은 원소를 여러 번 포함할 수 있으며, 그 횟수를 중복도라고 한다.
다항정리
다항정리는 여러 항의 합을 음이 아닌 정수 거듭제곱으로 전개하는 공식이다. (x₁+⋯+xᵣ)ⁿ의 각 항 x₁ⁿ¹⋯xᵣⁿʳ의 계수는 n!/(n₁!⋯nᵣ!)이며, 지수들은 음이 아닌 정수이고 합이 n이어야 한다.
하키 스틱 항등식
하키 스틱 항등식은 파스칼의 삼각형에서 한 대각선을 따라 놓인 이항계수들의 합을 하나의 이항계수로 나타내는 공식이다. 정수 n≥r≥0에서 Σₖ₌ᵣⁿ binom(k,r)=binom(n+1,r+1)이다. 삼각형에서 항들을 잇는 모양 때문에 붙은 이름이다.
반더몬드 항등식
반더몬드 항등식은 두 집단에서 나누어 선택하는 경우의 수를 이항계수의 합으로 나타내는 항등식이다. 음이 아닌 정수 m, n, r에 대해 Σₖ₌₀ʳ binom(m,k)binom(n,r−k)=binom(m+n,r)이며, 선택할 수 없는 경우의 이항계수는 0으로 둔다.
뤼카 정리 (이항계수)
이항계수에 대한 뤼카 정리는 소수 p로 나눈 이항계수의 나머지를 p진법의 각 자리 이항계수로 구하는 정리다. n과 k를 같은 자리수의 p진법으로 쓰면 binom(n,k)≡∏ binom(nᵢ,kᵢ) mod p이며, nᵢ와 kᵢ는 대응하는 자리 숫자다.
르장드르 공식 (계승)
계승에 대한 르장드르 공식은 n!의 소인수분해에서 소수 p의 지수를 구하는 공식이다. n이 음이 아닌 정수이고 p가 소수이면 vₚ(n!)=⌊n/p⌋+⌊n/p²⌋+⌊n/p³⌋+⋯이다. pᵏ가 n보다 커지면 해당 항은 0이 된다.
소수 계수 함수
소수 계수 함수 π(x)는 주어진 실수 x 이하의 소수가 몇 개인지 나타내는 함수다. 소수의 개수를 세므로 정수 값을 가지며, 소수 지점을 지날 때마다 1씩 증가하는 계단 함수다. 기호 π(x)는 원주율 π와 다른 용도로 쓰인다.
소수계승
소수계승은 일정한 범위의 소수들을 각각 한 번씩 곱한 값이다. 프라이모리얼이라고도 하며 # 기호를 사용한다. n#는 보통 n 이하의 모든 소수의 곱을 뜻하고, pₖ#는 k번째 소수 pₖ까지의 소수 곱을 뜻한다.
체비쇼프 함수
정수론의 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그를 누적하는 두 함수 θ(x)와 ψ(x)다. θ는 x 이하의 소수를 한 번씩 반영하고, ψ는 x 이하의 소수 거듭제곱마다 밑 소수의 로그를 반영한다. 소수의 분포를 가중 합으로 다룰 때 사용한다.
폰 망골트 함수
폰 망골트 함수 Λ(n)는 양의 정수 n이 소수 p의 양의 정수 거듭제곱 pᵏ이면 ln p를 주고, 그렇지 않으면 0을 주는 수론적 함수다. 여기서 ln은 자연로그다. 소수 자체뿐 아니라 그 제곱과 세제곱 등에서도 0이 아닌 값을 갖는다.
리우빌 함수
리우빌 함수 λ(n)는 양의 정수 n의 소인수를 중복까지 포함해 센 개수의 홀짝에 따라 1 또는 −1을 주는 수론적 함수다. 그 개수를 Ω(n)이라 쓰면 λ(n)=(−1)^Ω(n)이다. Ω(1)=0이므로 λ(1)=1이다.
완전 곱셈적 함수
완전 곱셈적 함수는 모든 양의 정수 a와 b에 대해 f(ab)=f(a)f(b)를 만족하는 수론적 함수다. 서로소인 경우에만 이 등식을 요구하는 곱셈적 함수보다 강한 조건이며, 소수 거듭제곱에서도 f(pᵏ)=f(p)ᵏ가 성립한다.
디리클레 합성곱
디리클레 합성곱은 두 수론적 함수 f와 g를 약수에 대한 합으로 결합하는 연산이다. (f∗g)(n)=Σ₍d|n₎f(d)g(n/d)로 정의한다. 같은 위치의 함수값끼리만 곱하는 점별 곱과 구별된다.
곱셈적 함수
곱셈적 함수는 서로소인 양의 정수 a와 b에 대해 f(ab)=f(a)f(b)를 만족하는 수론적 함수다. 보통 f(1)=1인 함수를 대상으로 하며, 서로소 조건 없이 같은 등식이 성립하는 완전 곱셈적 함수와 구분한다.
제곱 인수가 없는 수
제곱 인수가 없는 수는 1보다 큰 완전제곱수로 나누어떨어지지 않는 양의 정수다. 소인수분해에 같은 소수가 두 번 이상 나타나지 않는다는 조건과 같다. 1도 포함하며 소수뿐 아니라 6이나 10처럼 합성수인 예도 있다.
뫼비우스 반전 공식
정수론의 뫼비우스 반전 공식은 약수에 대해 합한 함수에서 원래 함수를 복원하는 공식이다. g(n)=Σ₍d|n₎f(d)이면 f(n)=Σ₍d|n₎μ(d)g(n/d)이며, μ는 뫼비우스 함수다. 두 합 모두 n의 양의 약수를 대상으로 한다.
뫼비우스 함수
정수론의 뫼비우스 함수 μ(n)는 양의 정수 n의 소인수 구조에 따라 −1, 0, 1 중 하나를 주는 함수다. 같은 소인수가 두 번 이상 나타나면 0이고, 서로 다른 소수 k개의 곱이면 (−1)ᵏ이다. 특별히 μ(1)=1로 둔다.
더피 정사각형
더피 정사각형은 정수 분할의 페러스 다이어그램 안에 들어가는 가장 큰 정사각형이다. 왼쪽 위 모서리에 맞추어 잡을 수 있으며, 크기는 보통 한 변을 이루는 칸의 개수로 나타낸다. 분할과 그 켤레 분할의 더피 정사각형 크기는 같다.
켤레 분할
켤레 분할은 정수 분할의 페러스 다이어그램에서 행과 열을 맞바꾸어 얻는 분할이다. 원래 분할과 같은 정수를 분할하지만 각 항의 크기와 항의 개수는 달라질 수 있다. 전치 분할이라고도 한다.
페러스 다이어그램
페러스 다이어그램은 정수 분할의 각 항을 한 행의 점이나 칸의 개수로 나타낸 그림이다. 큰 항부터 위쪽에 놓고 행들을 같은 쪽으로 정렬하여, 분할의 크기와 항의 개수를 기하적으로 읽을 수 있게 한다.
순서 있는 정수 분할
순서 있는 정수 분할은 양의 정수를 양의 정수들의 합으로 나타내면서 항의 순서를 구분하는 표현이다. 영어로 composition이라고 한다. 순서를 무시하는 정수 분할과 달리 2+3과 3+2를 서로 다른 표현으로 센다.
정수 분할
정수 분할은 음이 아닌 정수를 양의 정수들의 합으로 나타내되 더하는 항들의 순서를 구분하지 않는 표현이다. 같은 수가 여러 번 나타날 수 있으며, 보통 큰 항부터 작은 항으로 정렬해 적는다. 0에는 빈 분할 하나가 있다고 정한다.
완전순열
완전순열은 서로 다른 원소들을 재배열하되 어느 원소도 원래 위치에 남지 않는 순열이다. 고정점이 없는 순열이라고도 한다. n개 원소의 완전순열 개수는 보통 Dₙ 또는 !n으로 나타내며, 모든 순열의 수인 n!과 구별한다.
제1종 스털링 수
제1종 스털링 수는 순열을 순환으로 분해했을 때 순환의 개수에 따라 순열을 세는 수다. 부호 없는 값 c(n,k)는 n개 원소의 순열 중 정확히 k개 순환을 가진 것의 개수이며, 부호 있는 값은 s(n,k)=(−1)ⁿ⁻ᵏc(n,k)로 정의한다.
벨 수
벨 수 Bₙ은 서로 다른 n개 원소로 이루어진 집합을 비어 있지 않은 부분집합들로 분할하는 모든 방법의 수다. 블록의 개수는 고정하지 않으며 블록 사이의 순서는 구분하지 않는다. B₀=1에서 시작해 1, 1, 2, 5, 15, 52로 이어진다.
제2종 스털링 수
제2종 스털링 수 S(n,k)는 서로 다른 n개의 원소를 비어 있지 않은 k개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수다. 부분집합들 사이에 순서는 부여하지 않으며, 각 원소는 정확히 하나의 부분집합에 속한다.
카탈랑 수
카탈랑 수는 올바른 괄호열이나 볼록 다각형의 삼각분할 등 여러 조합 구조의 개수를 나타내는 수열이다. C₀=1에서 시작하며 일반항은 Cₙ=binom(2n,n)/(n+1)이다. 처음 값은 1, 1, 2, 5, 14, 42로 이어진다.
민코프스키 합
민코프스키 합은 두 점 집합에서 점을 하나씩 선택해 더하여 만들 수 있는 모든 점의 집합이다. A+B={a+b | a∈A, b∈B}로 나타내며, 평면 도형의 합은 면적을 더하거나 두 도형을 겹쳐 놓는 연산과 다르다.
픽의 정리
픽의 정리는 꼭짓점이 정수 격자점에 놓인 단순다각형의 넓이를 내부 격자점 수와 경계 격자점 수로 구하는 정리다. 내부 점이 I개, 경계 점이 B개이면 넓이는 I + B/2 − 1이다.
원에 외접하는 사각형
원에 외접하는 사각형은 안쪽의 한 원이 네 변 모두에 접하는 볼록사각형이다. 변 길이를 차례로 a와 b와 c와 d라 하면 a + c = b + d가 성립하고, 넓이는 내접원 반지름과 반둘레의 곱으로 구할 수 있다.
심슨 직선
심슨 직선은 삼각형의 외접원 위의 한 점에서 세 변을 포함하는 직선에 내린 수선의 발들이 놓이는 직선이다. 수선의 발이 원래 변의 바깥 연장선에 생기는 경우도 포함한다.
외접원
외접원은 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 한 직선 위에 놓이지 않은 세 점으로 이루어진 삼각형에는 외접원이 하나 존재하며, 그 중심인 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이다.
내접원
내접원은 다각형 안쪽에서 그 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 퇴화하지 않은 삼각형에는 내접원이 하나 존재하며, 중심인 내심은 세 내각 이등분선의 교점이다.
방심
방심은 삼각형의 방접원의 중심이다. 한 꼭짓점의 내각 이등분선과 나머지 두 꼭짓점의 외각 이등분선이 만나는 점으로 얻으며, 삼각형 하나에 서로 다른 방심 세 개가 있다.
방접원
방접원은 삼각형의 한 변과 나머지 두 변의 연장선에 접하면서 삼각형 밖에 놓이는 원이다. 중심은 방심이며 한 삼각형에 세 방접원이 존재한다. 꼭짓점을 지나는 외접원과는 다르다.
삼각형의 무게중심
삼각형의 무게중심은 세 중선이 만나는 점이다. 각 중선을 꼭짓점에서부터 2 대 1로 나누며, 세 꼭짓점의 좌표를 성분별로 평균하여 구할 수 있다. 퇴화하지 않은 삼각형에서는 항상 내부에 놓인다.
구점원
구점원은 삼각형의 세 변의 중점, 세 높이의 발, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분의 중점을 지나는 원이다. 그 중심은 외심과 수심의 중점이고 반지름은 외접원 반지름의 절반이다.
오일러 직선
오일러 직선은 정삼각형이 아닌 삼각형에서 외심과 무게중심과 수심을 지나는 직선이다. 무게중심 G는 외심 O와 수심 H 사이에서 OG : GH = 1 : 2를 만족하며 구점원의 중심도 같은 직선 위에 있다.
반전 (기하학)
기하학의 원에 대한 반전은 중심 O와 양의 반지름 r을 정하고, O가 아닌 점 P를 같은 반직선 위의 점 P′에 대응시켜 OP×OP′ = r²가 되게 하는 변환이다. 기준 원의 안쪽과 바깥쪽을 서로 바꾼다.
근축
근축은 중심이 서로 다른 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 집합인 직선이다. 두 중심을 잇는 직선에 수직이며, 두 원이 두 점에서 만나면 그 두 교점을 지나는 직선과 같다.
방멱
방멱은 한 점과 원의 위치 관계를 나타내는 값이다. 중심이 O이고 반지름이 r인 원에 대한 점 P의 방멱은 OP² − r²이며, 점을 지나는 할선의 교점까지의 방향 있는 거리 곱과 연결된다.
브라마굽타의 공식
브라마굽타의 공식은 원에 내접하는 볼록사각형의 네 변의 길이로 넓이를 구하는 공식이다. 반둘레가 s이면 넓이는 √[(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)]이며 내접 조건을 생략해서는 안 된다.
원에 내접하는 사각형
원에 내접하는 사각형은 네 꼭짓점이 하나의 원 위에 놓이는 사각형이다. 볼록사각형에서는 마주 보는 두 내각의 합이 180도이며, 프톨레마이오스의 정리와 특별한 넓이 공식을 적용할 수 있다.
프톨레마이오스의 정리
프톨레마이오스의 정리는 원에 내접하는 볼록사각형에서 두 대각선 길이의 곱이 두 쌍의 마주 보는 변 길이 곱의 합과 같다는 정리다. 꼭짓점이 원을 따라 A와 B와 C와 D 순서이면 AC×BD = AB×CD + BC×DA다.
헤론의 공식
헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이로 넓이를 구하는 공식이다. 반둘레를 s = (a + b + c)/2라 하면 넓이는 √[s(s − a)(s − b)(s − c)]이며, 높이를 따로 알지 못해도 계산할 수 있다.
스튜어트의 정리
스튜어트의 정리는 삼각형의 꼭짓점에서 맞은편 변으로 그은 선분의 길이를 세 변의 길이와 분할된 변의 길이로 연결하는 정리다. 중선에 한정되지 않는 일반적인 선분의 길이를 계산할 수 있다.
메넬라오스의 정리
메넬라오스의 정리는 삼각형의 세 변을 포함하는 직선 위에 놓인 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 길이 비로 나타내는 정리다. 방향을 포함한 비와 양수 길이 비의 표기를 구분하여 사용해야 한다.
체바의 정리
체바의 정리는 삼각형의 각 꼭짓점에서 맞은편 변으로 그은 세 선분이 한 점에서 만날 조건을 변의 길이 비로 나타내는 정리다. 세 변의 내부점을 사용하는 경우 세 비의 곱이 1이라는 식으로 쓸 수 있다.
무게중심 좌표
무게중심 좌표는 기준 삼각형 등의 꼭짓점에 대한 가중 결합으로 점의 위치를 나타내는 좌표다. 삼각형에서는 합이 1인 세 계수로 점을 나타낼 수 있으며, 계수의 부호를 통해 내부와 경계 및 외부를 구분할 수 있다.
단체 (기하학)
기하학에서 단체는 서로 아핀 독립인 점들의 볼록 껍질이다. n차원 단체는 n + 1개의 꼭짓점을 가지며, 1차원에서는 선분, 2차원에서는 삼각형, 3차원에서는 사면체가 된다.
아핀 껍질
아핀 껍질은 주어진 점 집합을 포함하는 가장 작은 아핀집합이다. 점들에서 골라 만든 모든 유한 아핀 결합의 집합으로 나타내며, 두 개의 서로 다른 점에서는 선분이 아니라 두 점을 지나는 직선 전체가 된다.
볼록 껍질
볼록 껍질은 주어진 점 집합을 포함하는 가장 작은 볼록집합이다. 점들에서 골라 만든 모든 유한 볼록 결합을 모은 집합이며, 평면의 유한 점들에서는 바깥 경계뿐 아니라 그 안쪽도 포함한다.
볼록 결합
볼록 결합은 계수들이 모두 0 이상이고 그 합이 1인 선형결합이다. 두 점의 볼록 결합은 두 점을 잇는 선분을 이루며, 볼록집합과 볼록 껍질을 설명하는 기본 개념이다.
아핀 결합
아핀 결합은 점이나 벡터에 곱하는 계수들의 합이 1인 선형결합이다. 좌표의 원점을 바꾸어도 같은 점을 나타내도록 구성되며, 계수에 음수를 허용한다는 점에서 볼록 결합보다 범위가 넓다.
아핀 공간
아핀 공간은 점들 사이의 차이를 벡터로 다룰 수 있지만 특정한 원점은 정해져 있지 않은 공간이다. 점에 벡터를 더해 다른 점으로 이동할 수 있으며, 유클리드 공간의 직선과 평면이 기본적인 예가 된다.
비동차 연립일차방정식
비동차 연립일차방정식은 상수항이 모두 0인 것은 아닌 연립일차방정식이다. Ax = b에서 b ≠ 0인 경우이며, 해가 존재하면 한 특수해와 대응하는 동차방정식 Ax = 0의 해들을 더하여 전체 해를 나타낼 수 있다.
동차 연립일차방정식
동차 연립일차방정식은 모든 상수항이 0인 연립일차방정식이다. 행렬로 Ax = 0이라 쓰며 영벡터는 항상 해다. 해집합은 계수행렬 A의 영공간이고, 조건에 따라 영벡터 외의 해도 가질 수 있다.
첨가행렬
첨가행렬은 행렬에 벡터나 다른 행렬을 붙여 함께 계산하도록 만든 행렬이다. 연립일차방정식 Ax = b에서는 계수행렬 A의 오른쪽에 상수항 벡터 b를 붙인 [A | b]가 대표적이다.
기약행 사다리꼴
기약행 사다리꼴은 행 사다리꼴에서 각 선행 성분을 1로 만들고, 그 성분이 있는 열의 나머지 성분을 모두 0으로 만든 형태다. 각 행렬에는 행 연산으로 얻을 수 있는 기약행 사다리꼴이 유일하게 정해진다.
행 사다리꼴
행 사다리꼴은 행렬의 0이 아닌 행들이 아래로 갈수록 첫 번째 0이 아닌 성분의 위치가 오른쪽으로 이동하고, 영행들이 맨 아래에 놓이는 형태다. 가우스 소거법으로 얻을 수 있으며 연립방정식의 구조를 읽는 데 사용된다.
가우스 소거법
가우스 소거법은 기본 행 연산으로 연립일차방정식의 계수들을 사다리꼴 형태로 바꾸어 해를 구하는 방법이다. 계수와 상수항을 함께 변환하며, 해의 존재와 자유변수도 변환된 식에서 확인할 수 있다.
기본행렬
기본행렬은 단위행렬에 한 번의 기본 행 연산을 적용하여 얻는 행렬이다. 왼쪽에서 다른 행렬에 곱하면 같은 행 연산을 수행하는 효과가 있으며, 행 교환과 배수 및 다른 행의 배수 더하기를 나타낼 수 있다.
순열행렬
순열행렬은 각 행과 각 열에 1이 하나씩 있고 나머지 성분은 모두 0인 정사각행렬이다. 단위행렬의 행들을 재배열해 만들 수 있으며 벡터의 좌표나 행렬의 행과 열의 순서를 바꾸는 데 사용된다.
LU 분해
LU 분해는 행렬을 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U의 곱으로 나타내는 방법이다. 행 교환을 포함하면 순열행렬 P를 사용해 PA = LU로 나타내며, 삼각 연립방정식을 차례로 풀어 선형 방정식의 해를 계산할 수 있다.
삼각행렬
삼각행렬은 주대각선의 한쪽에 있는 성분들이 모두 0인 정사각행렬이다. 대각선 아래가 0이면 상삼각행렬, 위가 0이면 하삼각행렬이라고 하며 대각 성분은 반드시 0일 필요가 없다.
유니터리행렬
유니터리행렬은 켤레전치가 자신의 역행렬과 같은 복소 정사각행렬이다. UᴴU = I를 만족하며 복소 벡터의 표준 내적과 길이를 보존한다. 실수 행렬에서는 직교행렬과 같은 조건이 된다.
정규행렬
정규행렬은 자신의 켤레전치와 곱셈 순서를 바꾸어도 결과가 같은 복소 정사각행렬이다. AAᴴ = AᴴA를 만족하며, 복소수 범위에서는 유니터리행렬을 사용해 대각화할 수 있다는 조건과 동치다.
에르미트행렬
에르미트행렬은 자신의 켤레전치와 같은 복소 정사각행렬이다. Aᴴ = A를 만족하며 대각 성분은 실수다. 고유값이 모두 실수이고 정규직교 고유벡터 기저를 가질 수 있다는 중요한 성질이 있다.
켤레전치
켤레전치는 행렬을 전치하고 각 성분을 켤레복소수로 바꾸는 연산이다. m행 n열 행렬의 켤레전치는 n행 m열이며, 복소수 행렬의 내적과 직교성 조건을 다룰 때 기본적으로 사용된다.
반대칭행렬
반대칭행렬은 전치행렬이 원래 행렬의 음수와 같은 정사각행렬이다. Aᵀ = −A를 만족하며 실수나 복소수 행렬에서는 대각 성분이 모두 0이고 대각선을 사이에 둔 성분들의 부호가 반대다.
멱영행렬
멱영행렬은 어떤 양의 정수 거듭제곱이 영행렬이 되는 정사각행렬이다. 행렬 자체가 영행렬일 필요는 없으며, 해당 선형 변환을 충분히 반복하면 모든 벡터가 영벡터로 보내진다.
대합행렬
대합행렬은 제곱하면 단위행렬이 되는 정사각행렬이다. A² = I를 만족하므로 자신의 역행렬과 같으며, 대응하는 선형 변환을 두 번 적용하면 처음 벡터로 돌아간다.
멱등행렬
멱등행렬은 자기 자신을 두 번 곱해도 원래 행렬과 같은 결과가 되는 정사각행렬이다. A² = A를 만족하며, 대응하는 선형 변환을 한 번 적용한 뒤 다시 적용해도 결과가 바뀌지 않는다.
닮음행렬
닮음행렬은 같은 체 위의 정사각행렬 A와 B 사이에 가역행렬 P가 있어 B = P⁻¹AP가 성립하는 경우의 두 행렬이다. 같은 선형 변환을 서로 다른 기저에서 나타낸 행렬로 이해할 수 있다.
QR 분해
QR 분해는 행렬을 직교성 조건을 가진 Q와 위쪽 삼각 구조의 R의 곱으로 나타내는 행렬 분해다. 실수 행렬의 축소형에서는 Q의 열들이 정규직교하며 선형 방정식과 최소제곱 문제의 계산에 사용된다.
그람-슈미트 과정
그람-슈미트 과정은 내적 공간의 선형 독립인 벡터들을 차례로 직교화하고 정규화하여 같은 공간을 생성하는 정규직교 벡터들을 만드는 방법이다. 앞서 구한 방향으로의 성분을 빼는 계산을 반복한다.
정규직교 기저
정규직교 기저는 내적 공간에서 서로 다른 기저 벡터의 내적이 0이고 각 벡터의 노름이 1인 기저다. 유한 차원에서는 벡터의 성분과 정사영을 내적으로 간단히 계산할 수 있게 한다.
경계층 두께
경계층 두께는 벽 가까이에서 속도가 바깥 흐름의 값으로 접근하는 영역의 규모를 나타내는 길이다. 속도가 기준값에 도달하는 거리나 속도 결손의 적분 등 정의에 따라 서로 다른 두께를 사용한다.
유동 박리
유동 박리는 벽을 따라 흐르던 유체의 경계층이 표면을 따라 유지되지 못하고 떨어져 나가는 현상이다. 흐름 방향으로 압력이 높아지는 역압력 기울기 등이 원인이 될 수 있으며 압력 분포와 항력에 영향을 준다.
경계층
경계층은 고체 표면 가까이에서 점성의 영향으로 유체의 속도가 벽의 속도에서 바깥 흐름의 속도로 바뀌는 얇은 영역이다. 표면 마찰과 유동 박리 등 물체 주변 흐름을 설명하는 데 중요하다.