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베지에 곡선
베지에 곡선은 조절점들의 위치로 형태를 정하는 매개변수 곡선이다. 첫 조절점과 마지막 조절점은 곡선의 양 끝점이며, 중간 조절점은 대체로 곡선을 당기는 역할을 한다. 모든 조절점을 통과하도록 만드는 보간 곡선과는 다르다.
베른슈타인 다항식
베른슈타인 다항식은 이항계수와 x의 거듭제곱, 1-x의 거듭제곱으로 구성하는 다항식 기저 또는 그 선형결합을 뜻한다. n차 기저는 B(n,k)(x)=C(n,k)xᵏ(1-x)^(n-k)로 쓴다. [0,1]에서의 근사와 곡선 표현에 활용한다.
에르미트 보간
에르미트 보간은 주어진 지점의 함숫값뿐 아니라 도함수 값도 맞추는 보간이다. 서로 다른 n개 지점에서 값과 일차 도함수를 지정하는 기본 문제에서는 2n-1차 이하의 다항식을 구한다. 점을 통과하는 조건에 접선 방향 조건이 더해진다.
PCHIP 보간
PCHIP 보간은 데이터의 단조성과 형태를 유지하도록 기울기를 선택하는 구간별 삼차 에르미트 보간이다. 주어진 점을 통과하면서 일차 도함수가 연속되도록 연결한다. 이차 도함수까지 연속인 삼차 스플라인과는 기울기를 정하는 기준이 다르다.
분할 차분
분할 차분은 여러 지점의 함숫값 차이를 지점 사이의 간격으로 나누어 재귀적으로 구성한 수량이다. 일차 분할 차분은 두 점 사이의 평균변화율이고, 고차 분할 차분은 낮은 차수의 분할 차분들을 다시 결합한다. 뉴턴 형식의 보간 다항식을 구성할 때 사용한다.
중점 구적법
중점 구적법은 구간의 가운데에서 계산한 함숫값에 구간 길이를 곱해 적분을 근사하는 방법이다. 구간을 여러 조각으로 나누면 각 조각의 중점에서 얻은 직사각형 넓이를 더한다. 미분방정식의 중점 방법과는 다루는 문제가 다르다.
몬테카를로 적분
몬테카를로 적분은 무작위 표본에서 계산한 함숫값의 평균으로 적분을 추정하는 방법이다. 구간 [a,b]의 균등 표본에서는 표본 평균에 구간 길이 b-a를 곱한다. 고차원 적분에 활용되며 한 번의 결과에는 표본 추출에 따른 불확실성이 있다.
롬베르크 적분법
롬베르크 적분법은 간격을 절반씩 줄인 합성 사다리꼴 근사에 리처드슨 외삽을 반복 적용하는 수치적분 방법이다. 근삿값을 삼각형 배열로 쌓으며 충분히 매끄러운 함수에서 오차의 짝수 거듭제곱 항을 차례로 제거한다.
리처드슨 외삽법
리처드슨 외삽법은 서로 다른 간격에서 얻은 근삿값을 결합해 주된 오차항을 제거하는 방법이다. 간격 h가 0으로 갈 때 오차가 어떤 거듭제곱 형태로 줄어드는지 이용한다. 수치 미분이나 수치적분의 정확도를 높이는 데 사용한다.
공룡 화석과 생존 시기
공룡 화석의 지층 연대와 종의 출현·멸종 시점은 다르다. 디나모테로르와 타나토테리스테스 사례로 비교 방법을 설명한다.
가우스 르장드르 구적법
가우스 르장드르 구적법은 구간 [-1,1]에서 가중함수 1인 적분을 선택된 점의 함숫값과 가중합으로 근사하는 방법이다. n개의 평가점을 사용하면 2n-1차 이하 다항식의 적분을 정확한 산술에서 재현한다. 평가점은 르장드르 다항식의 영점이다.
적응형 구적법
적응형 구적법은 함수의 적분을 근사할 때 오차 추정에 따라 구간 분할이나 평가 지점을 조절하는 수치적분 방법이다. 모든 구간을 똑같이 잘게 나누는 대신 더 많은 계산이 필요하다고 판단한 부분에 평가를 집중한다.
행렬 평형화
행렬 평형화는 행과 열의 스케일을 조정해 계수 크기의 불균형을 줄이는 수치 계산 기법이다. 경우에 따라 행이나 열의 순열도 함께 사용한다. 선형 시스템을 같은 해에 대응하는 형태로 바꾸되 우변과 해의 좌표 변환을 함께 관리해야 한다.
불완전 촐레스키 분해
불완전 촐레스키 분해는 희소성을 제한하면서 A ≈ LL* 형태의 근사 인자를 만드는 방법이다. L은 삼각행렬이고 별표는 켤레전치를 뜻한다. 대칭 양의 정부호 시스템의 전처리에 쓰이며 완전한 촐레스키 분해와 달리 곱이 A와 정확히 같지 않을 수 있다.
레일리 몫
레일리 몫은 0이 아닌 벡터 x와 정사각 행렬 A에 대해 x*Ax/(x*x)로 정의하는 스칼라다. 별표는 켤레전치를 뜻하며 실수에서는 전치로 바뀐다. 대칭행렬이나 에르미트 행렬의 고유값을 분석하고 근사하는 데 사용한다.
강착원반의 온도
블랙홀 주변 강착원반과 코로나의 온도 차이, 별의 핵이나 중성자별 내부와 비교할 때 필요한 조건을 설명한다.
불완전 LU 분해
불완전 LU 분해는 희소성을 제한하면서 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U를 구성하는 근사 분해다. 완전한 LU 분해와 달리 곱 LU가 원래 행렬 A와 정확히 같을 필요는 없다. 주로 반복법의 전처리에 사용하며 ILU라고 줄여 쓴다.
최소 노름 해
최소 노름 해는 여러 해 가운데 정해진 노름이 가장 작은 해다. 선형 최소제곱 문제에서는 먼저 잔차를 최소화하는 해들을 찾고, 그중 해 벡터의 2-노름이 가장 작은 것을 고른다. 잔차의 크기와 해의 크기는 서로 다른 기준이다.
LSQR
LSQR은 선형 시스템의 최소제곱 해를 구하는 반복 알고리즘이다. 잔차 b-Ax의 2-노름을 줄이는 해를 찾으며, 정사각형이 아닌 행렬이나 모든 식을 동시에 만족시킬 수 없는 문제에도 적용한다. 큰 희소 선형 시스템을 다루는 수치 계산에서 사용한다.
토머스 알고리즘
토머스 알고리즘은 삼중대각 선형 시스템에 맞춘 가우스 소거법이다. 주대각선과 바로 위아래 대각선의 계수만 이용해 전진 소거와 후진 대입을 수행한다. 중간 피벗이 적절히 유지되는 경우 미지수 개수에 비례하는 계산량으로 해를 구한다.
대역행렬
대역행렬은 주대각선 주변의 정해진 폭 밖에 있는 원소가 모두 0인 행렬이다. 아래쪽과 위쪽의 폭은 서로 다를 수 있다. 대역폭은 0이 아닌 원소의 개수보다 대각선에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 나타낸다.
셔먼 모리슨 공식
셔먼 모리슨 공식은 가역행렬 A에 벡터의 외적 uvᵀ를 더했을 때 새 역행렬을 표현하는 항등식이다. 분모 1+vᵀA⁻¹u가 0이 아니어야 한다. 기존 행렬의 분해를 재사용해 갱신된 선형 시스템을 풀 때 활용한다.
슈어 보완
슈어 보완은 블록 행렬에서 일부 변수를 소거한 뒤 남는 계수 행렬이다. M의 네 블록을 A, B, C, D로 나누고 A가 가역이면 A에 대한 슈어 보완은 D-CA⁻¹B다. 단순히 D 블록만 떼어 내는 것과는 다르다.
후방 오차
후방 오차는 계산한 결과를 정확한 답으로 만드는 데 필요한 입력의 변화를 측정한 오차다. 원래 문제의 정확한 답과 결과를 직접 비교하는 전방 오차와 관점이 다르다. 어떤 입력을 바꿀 수 있는지와 크기를 재는 기준을 먼저 정해야 한다.
MINRES
MINRES는 대칭 선형 시스템에서 잔차의 유클리드 노름을 최소화하는 크릴로프 부분공간 반복법이다. 란초스 과정을 활용하며 양의 정부호가 아닌 대칭행렬에도 사용할 수 있다. 이름은 Minimal Residual에서 왔다.
란초스 반복법
란초스 반복법은 실수 대칭행렬이나 복소수 에르미트 행렬의 고유값 계산에 쓰이는 크릴로프 부분공간 방법이다. 아르놀디 과정에 대칭성을 적용해 작은 삼중대각행렬을 만든다. 정확한 산술에서는 짧은 세 항 점화식으로 다음 기저를 생성할 수 있다.
아르놀디 반복법
아르놀디 반복법은 행렬과 벡터의 곱을 반복하면서 크릴로프 부분공간의 직교정규 기저를 만드는 알고리즘이다. 새로 얻은 벡터에서 기존 기저 방향을 제거하고 남은 부분을 정규화한다. 이 과정에서 작은 상부 헤센베르크 행렬도 함께 얻는다.
크릴로프 부분공간
크릴로프 부분공간은 시작 벡터에 행렬을 반복해서 곱해 얻은 벡터들의 선형결합으로 이루어진 공간이다. K(k)(A,v) = span{v, Av, …, A^(k-1)v}로 정의한다. 큰 행렬의 선형 시스템이나 고유값 문제를 작은 공간에서 근사하는 반복법의 바탕이다.
QR 반복법
QR 반복법은 행렬을 QR로 분해한 뒤 두 인자의 순서를 바꿔 곱하는 과정을 반복하는 고유값 계산법이다. 기본형은 A(k) = Q(k)R(k), A(k+1) = R(k)Q(k)로 쓴다. 각 단계는 고유값을 보존하는 닮음 변환이다.
기븐스 회전
기븐스 회전은 두 좌표만 회전시키고 나머지 좌표는 유지하는 직교변환이다. 행렬 계산에서는 두 행을 조합해 특정 원소를 0으로 만드는 데 사용한다. QR 분해를 계산하는 방법 가운데 하나다.
하우스홀더 변환
하우스홀더 변환은 초평면에 대한 반사를 나타내는 선형변환이다. 실수의 0이 아닌 벡터 v에 대해 H = I - 2vvᵀ/(vᵀv)로 쓴다. 벡터의 길이를 보존하며, QR 분해에서 열의 일부 성분을 0으로 만드는 데 사용한다.
순환행렬
순환행렬은 첫 행을 정한 뒤 원소들을 한 칸씩 순환 이동해 다음 행들을 만드는 정사각 행렬이다. 끝에서 밀려난 원소를 반대쪽 끝에 다시 넣는다. 이산 푸리에 변환과 연결되는 규칙적인 구조를 갖는다.
힐베르트 행렬
힐베르트 행렬은 i행 j열의 원소가 1/(i+j-1)인 정사각 행렬이다. 간단한 분수로 구성되지만 수치 계산에서 조건이 나쁜 행렬의 대표적인 예로 쓰인다. 작은 입력 오차와 해의 오차가 같은 크기로 유지된다고 기대하면 안 된다.
반더몬드 행렬
반더몬드 행렬은 각 행에 하나의 값의 거듭제곱을 순서대로 배치한 행렬이다. 열을 1, x, x² 순으로 놓거나 반대로 놓는 관례가 있다. 다항식의 계수와 여러 지점에서의 함숫값을 연결할 때 나타난다.
한켈 행렬
한켈 행렬은 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 이어지는 각 반대각선의 원소가 같은 행렬이다. 수열 s를 이용하면 H(i,j) = s(i+j-1)로 표현할 수 있다. 행과 열의 번호 차이가 아니라 합으로 원소를 결정한다는 점이 토플리츠 행렬과 다르다.
크로네커 곱
크로네커 곱은 한 행렬의 각 원소에 다른 행렬 전체를 곱해 블록으로 배치하는 연산이다. A ⊗ B로 쓰며, A가 m행 n열이고 B가 p행 q열이면 결과는 mp행 nq열이다. 보통의 행렬 곱이나 같은 위치의 원소끼리 곱하는 연산과 구별된다.
헤센베르크 행렬
헤센베르크 행렬은 대각선에서 한 칸 떨어진 부분까지 원소를 허용하고 그 바깥을 0으로 제한한 정사각 행렬이다. 상부 헤센베르크 행렬에서는 첫 번째 아래 부대각선보다 아래에 있는 원소가 모두 0이다. 고유값 계산을 위한 중간 형태로 쓰인다.
슈어 분해
슈어 분해는 복소수 정사각 행렬을 유니터리 닮음 변환으로 상삼각행렬로 나타내는 분해다. 복소수 형식은 A = QTQ*로 쓰며 Q*는 켤레전치다. 실수 행렬에는 실수 직교행렬과 일차 또는 이차 대각 블록을 쓰는 실수 슈어 형식도 있다.
토플리츠 행렬
토플리츠 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 각 대각선의 원소가 일정한 행렬이다. 원소는 행 번호와 열 번호의 차이로 정해진다. 신호의 이동과 합성곱 같은 연산을 행렬로 표현할 때 나타나며 반드시 대칭행렬일 필요는 없다.
조르당 표준형
조르당 표준형은 복소수 정사각 행렬을 닮음 변환으로 조르당 블록들의 대각 배치로 나타내는 형식이다. 대각화할 수 없는 행렬의 구조도 표현한다. 블록의 순서를 제외하면 표준형은 유일하지만 수치 오차가 있는 계산에서는 블록 구조가 민감하게 바뀔 수 있다.
게르슈고린 원판 정리
게르슈고린 원판 정리는 정사각 행렬의 고유값들이 특정 원판들의 합집합 안에 있음을 알려 주는 정리다. 각 원판의 중심은 대각 원소, 반지름은 같은 행의 나머지 원소 절댓값의 합이다. 고유값을 직접 구하지 않고도 위치 범위를 추정할 수 있다.
반복 개선법
반복 개선법은 선형 연립방정식의 근삿값에서 잔차를 구하고 그 잔차에 대응하는 보정량을 더해 해의 정확도를 개선하는 계산법이다. Iterative refinement라고 부른다. 이미 계산한 행렬 분해를 재사용할 수 있으며 잔차를 구하는 정밀도가 중요한 역할을 한다.
대각 우세 행렬
대각 우세 행렬은 각 행 또는 열에서 대각 원소의 절댓값이 나머지 원소 절댓값의 합 이상인 정사각 행렬이다. 모든 비교가 엄격한 부등식이면 엄격한 대각 우세라고 한다. 어느 방향으로 비교하는지와 등호를 허용하는지를 구분해야 한다.
스펙트럼 반지름
스펙트럼 반지름은 정사각 행렬의 모든 고유값 중 절댓값이 가장 큰 값이다. 보통 ρ(A)로 나타낸다. 행렬을 반복해서 곱하는 과정과 정상 반복법의 수렴을 분석할 때 사용한다. 개별 원소의 최대 크기나 한 번 곱했을 때의 최대 증폭률과는 다르다.
거듭제곱법
거듭제곱법은 행렬을 벡터에 반복해서 곱하고 크기를 조정하여 지배적인 고유벡터 방향을 찾는 계산법이다. 고유값의 절댓값이 가장 큰 성분이 상대적으로 커지는 성질을 이용한다. 초기 벡터와 고유값 사이의 크기 차이가 결과에 영향을 준다.
GMRES
GMRES는 선형 연립방정식 Ax = b에서 탐색 부분공간 안의 잔차 길이를 최소화하는 반복법이다. Generalized minimal residual의 약칭이다. 기본 켤레기울기법과 달리 계수 행렬이 대칭 양의 정부호일 필요가 없어 비대칭 선형계에도 사용한다.
전처리 (수치해석)
수치해석에서 전처리는 선형계를 더 풀기 쉬운 동치 형태로 바꾸어 반복 계산을 돕는 기법이다. 보통 원래 행렬을 어느 정도 닮으면서 적용 비용이 작은 전처리 행렬을 선택한다. 반복 횟수를 줄이는 효과와 전처리 자체의 비용을 함께 고려해야 한다.
켤레기울기법
켤레기울기법은 대칭 양의 정부호 선형계 Ax = b를 푸는 반복법이다. CG라고 줄여 부른다. 잔차와 이전 탐색 방향을 이용해 A에 대해 서로 켤레인 방향을 만들며 해를 갱신한다. 큰 희소행렬에서도 행렬과 벡터의 곱을 중심으로 계산할 수 있다.
SOR 방법
SOR 방법은 선형 연립방정식을 순서대로 갱신하면서 완화 계수로 각 성분의 이동 폭을 조절하는 반복법이다. Successive over-relaxation의 약칭이다. 가우스 자이델 방식의 성분별 계산에 계수를 추가하며 선택한 계수에 따라 수렴 속도와 안정성이 달라진다.
가우스 자이델 반복법
가우스 자이델 반복법은 선형 연립방정식의 성분을 순서대로 갱신하면서 같은 반복에서 새로 구한 값을 즉시 사용하는 방법이다. 이전 값만 쓰는 야코비 반복법과 갱신 규칙이 다르다. 계수 행렬의 성질과 계산 순서가 수렴 과정에 영향을 준다.
야코비 반복법
야코비 반복법은 선형 연립방정식의 각 미지수를 이전 반복의 값으로 계산해 새 근삿값을 만드는 방법이다. 한 반복 안에서는 방금 계산한 성분을 다른 성분의 갱신에 바로 사용하지 않는다. 초기값에서 출발해 반복하지만 모든 계수 행렬에서 수렴하는 것은 아니다.
희소행렬
희소행렬은 원소의 상당 부분이 0인 행렬이다. 희소 저장 형식은 주로 0이 아닌 값과 위치 정보를 보관하여 메모리와 연산을 줄인다. 수학적인 행렬의 크기는 그대로이며 빈 위치는 누락된 관측값이 아니라 0을 의미한다.
행렬 지수 함수
행렬 지수 함수는 정사각 행렬 A에 대해 I+A+A²/2!+A³/3!+…로 정의하는 함수다. exp(A) 또는 eᴬ로 나타낸다. 행렬의 곱을 사용하는 급수이므로 각 원소에 보통의 지수 함수를 따로 적용한 결과와 다르다.
양의 정부호 행렬
양의 정부호 행렬은 실수 대칭행렬 A에서 0이 아닌 모든 벡터 x에 대해 xᵀAx가 양수가 되는 행렬이다. 양의 준정부호는 이 값이 0인 방향도 허용한다. 개별 원소의 부호가 아니라 행렬 전체가 만드는 이차형식의 성질이다.
무어 펜로즈 유사역행렬
무어 펜로즈 유사역행렬은 직사각 행렬이나 특이 행렬에도 정의할 수 있는 역행렬의 일반화다. 보통 A⁺로 쓴다. A⁺b는 Ax = b의 최소제곱 해 가운데 유클리드 노름이 가장 작은 해를 준다. 일반 역행렬의 모든 성질을 그대로 갖는 것은 아니다.
촐레스키 분해
촐레스키 분해는 실수 대칭 양의 정부호 행렬을 삼각행렬과 그 전치의 곱으로 나타내는 행렬 분해다. 복소수 에르미트 양의 정부호 행렬에서는 켤레전치를 사용한다. 이 구조를 이용하면 선형 연립방정식을 두 삼각계로 나누어 풀 수 있다.
특잇값 분해
특잇값 분해는 행렬을 두 직교 또는 유니터리 행렬과 음이 아닌 대각 성분을 가진 행렬의 곱으로 표현하는 방법이다. SVD라고 부른다. 정사각 행렬뿐 아니라 직사각 행렬에도 적용하며 행렬의 계수, 조건과 근사를 분석하는 데 사용한다.
행렬 조건수
행렬 조건수는 행렬을 사용하는 계산에서 입력의 작은 변화가 결과에 얼마나 큰 영향을 줄 수 있는지 나타내는 민감도 척도다. 선형 연립방정식이나 역행렬 계산에서 사용한다. 선택한 노름과 계산 문제를 명시해야 하며 행렬 원소의 크기만으로 판단하지 않는다.
아르켈론
백악기 후기에 바다에서 살았던 대형 거북류로, 넓은 앞지느러미와 비교적 가벼운 껍질 구조로 알려져 있다.
정규방정식
정규방정식은 선형 최소제곱 문제의 해가 만족하는 연립방정식이다. 실수 행렬 A와 벡터 b에서 잔차의 제곱합을 최소로 만드는 x는 AᵀAx = Aᵀb를 만족한다. 여기서 정규라는 말은 잔차가 A의 열공간에 직교한다는 관계와 연결된다.
최소제곱법
최소제곱법은 관측값과 모형의 예측값 사이 잔차의 제곱합을 최소로 만드는 계수를 찾는 방법이다. 직선 회귀뿐 아니라 다양한 모형의 계수 추정에 사용한다. 어떤 모형과 잔차를 선택했는지에 따라 최적값의 의미가 달라진다.
메이올라니아
신생대 오스트랄라시아에서 살았던 멸종 거북류로, 머리의 뿔과 꼬리의 돌기가 특징이다.
프로가노켈리스
트라이아스기 후기에 살았던 초기 거북류로, 완성된 등딱지와 배딱지 및 목·꼬리의 돌기가 특징이다.
삼차 스플라인 보간
삼차 스플라인 보간은 표본점 사이에 삼차 이하 다항식을 배치하고 연결점에서 값과 일차와 이차 미분값이 이어지도록 구성하는 보간법이다. 전체 구간을 하나의 높은 차수 다항식으로 표현하는 방식과 다르다. 양 끝의 경계 조건도 결과에 영향을 준다.
라그랑주 보간
라그랑주 보간은 주어진 모든 표본점을 지나는 다항식을 기저 다항식의 가중합으로 표현하는 방법이다. 서로 다른 n+1개 좌표에는 차수가 n 이하인 보간 다항식이 하나 존재한다. 표현 방법이 다르더라도 같은 좌표와 값에 대한 그 다항식은 같다.
전기 난로의 원리
저항 발열로 전기 에너지를 열로 바꾸는 과정과 뜨거운 발열체가 붉게 빛나는 이유를 설명한다.
선형 보간
선형 보간은 알려진 두 점 사이를 직선으로 연결하여 중간 위치의 값을 구하는 방법이다. 여러 표본에서는 인접한 점을 구간별로 연결한다. 계산한 값은 선택한 직선 모형에 따른 추정값이며 새로 측정한 데이터가 아니다.
수치 미분
수치 미분은 유한한 간격에서 얻은 함숫값이나 측정값의 차이로 미분값을 근사하는 계산이다. 함수의 식을 직접 미분하기 어렵거나 표본 데이터만 있을 때 사용한다. 표본 간격과 값의 오차가 결과에 영향을 주므로 간격을 무조건 작게 하는 것이 항상 유리하지는 않다.
심프슨 공식
심프슨 공식은 일정한 간격의 표본값을 이용해 정적분을 근사하는 수치 적분법이다. 흔히 쓰는 삼분의 일 공식은 세 점을 지나는 이차 다항식을 적분하는 방식에서 얻어진다. 여러 구간에 이어 적용할 때는 간격과 구간 수 조건을 확인한다.
사다리꼴 공식
사다리꼴 공식은 인접한 표본점을 직선으로 연결해 정적분을 근사하는 수치 적분법이다. 각 구간의 폭에 양 끝 함숫값의 평균을 곱하고 그 결과를 더한다. 함수의 식을 몰라도 좌표와 측정값이 있으면 적용할 수 있다.
가위치법
가위치법은 근을 포함하는 구간의 양 끝점을 직선으로 연결하고 그 직선의 영점을 이용해 구간을 줄이는 수치 계산법이다. False-position method 또는 Regula falsi라고 부른다. 직선 보간을 사용하지만 근을 감싸는 구간의 부호 조건을 유지한다.
고정점 반복법
고정점 반복법은 x = g(x)를 만족하는 값을 찾기 위해 현재 값에 함수 g를 반복 적용하는 계산법이다. 방정식을 이런 형태로 바꿀 수 있어도 반복이 반드시 수렴하는 것은 아니다. 같은 해를 갖는 식도 어떤 반복 함수를 택하는지에 따라 계산 성질이 달라진다.
할선법
할선법은 함수 위의 두 점을 잇는 직선의 영점을 다음 근삿값으로 삼아 방정식의 근을 찾는 수치 계산법이다. 미분값을 직접 계산하지 않고 두 함숫값의 차이를 이용한다. 최근 두 근삿값을 갱신하므로 근을 사이에 두는 구간이 계속 유지되는 것은 아니다.
이분법
이분법은 함수의 근을 포함하는 구간을 절반씩 줄이는 수치 계산법이다. 구간에서 연속인 실함수의 양 끝값이 서로 다른 부호라는 조건을 이용한다. 미분값 없이 근을 좁혀 갈 수 있지만 연속성과 부호 변화 조건을 확인해야 한다.
뉴턴 방법
뉴턴 방법은 현재 근삿값에서 함수의 접선을 이용해 방정식의 근을 반복적으로 찾는 수치 계산법이다. 뉴턴 랩슨 방법이라고도 한다. 미분값을 사용하여 다음 근삿값을 정하며 함수의 형태와 시작점에 따라 결과가 달라진다.
강성 미분방정식
강성 미분방정식은 관심 있는 해가 완만하게 변하는 구간에서도 특정 수치 계산법의 안정성을 위해 매우 작은 시간 간격이 요구되는 미분방정식 문제를 가리킨다. 빠르게 사라지는 성분과 느리게 변하는 성분이 함께 있는 경우가 대표적이다.
예측 수정법
예측 수정법은 미분방정식의 다음 값을 먼저 예측한 뒤 그 예측 정보를 사용해 값을 수정하는 수치 계산 방식이다. 사용하는 예측식과 수정식에 따라 성질이 달라진다. 수정을 한 번 수행하는 것과 음시적 방정식을 수렴할 때까지 푸는 것은 구분해야 한다.
애덤스 배시포스 방법
애덤스 배시포스 방법은 현재와 이전 시점의 기울기를 이용해 미분방정식의 다음 값을 근사하는 명시적 수치 계산법이다. 여러 시점의 계산 정보를 이어 쓰는 다단계 방법에 속한다. 기울기 이력을 보관하여 다음 구간의 변화를 예측한다.
4차 룽게 쿠타 방법
4차 룽게 쿠타 방법은 한 시간 단계에서 네 번 기울기를 평가해 미분방정식의 다음 값을 구하는 수치 계산법이다. 대표적인 고전적 방법을 RK4라고 부른다. 중간 시점에서 예측한 상태를 사용하여 한 번의 기울기로 나아가는 계산보다 높은 정확도를 얻는다.
후진 오일러 방법
후진 오일러 방법은 다음 시점의 기울기를 이용해 미분방정식의 다음 값을 구하는 수치 계산법이다. 다음 값이 식의 양쪽에 나타나는 음시적 방법이다. 시간 방향을 거꾸로 계산한다는 뜻이 아니라 구간 끝점에서 기울기를 평가한다는 뜻이다.
전진 오일러 방법
전진 오일러 방법은 현재 시점의 기울기를 이용해 미분방정식의 다음 값을 근사하는 수치 계산법이다. 초기값에서 출발해 정해진 시간 간격만큼 반복해서 나아간다. 계산식은 간단하지만 시간 간격에 따라 정확도와 수치적 안정성이 달라진다.
영차 홀드
영차 홀드는 각 표본값을 다음 표본 시점까지 일정하게 유지하는 신호 표현 방식이다. ZOH라고 줄여 쓴다. 디지털 제어 입력이 갱신 사이에는 바뀌지 않는다고 가정하여 연속 시간 제어 대상을 이산 시간 모형으로 바꿀 때 사용한다.
파데 지연 근사
파데 지연 근사는 연속 시간의 순수 지연을 다항식의 비로 나타낸 전달함수로 근사하는 방법이다. 지연을 포함한 모형을 유한 차수의 유리 전달함수로 다룰 때 사용한다. 근사 모형의 응답과 실제 지연의 응답은 서로 구분해야 한다.
정상 상태 오차
정상 상태 오차는 제어 응답의 과도 변화가 지난 뒤에도 목표 신호와 출력 사이에 남는 차이다. 오차가 일정한 극한값으로 수렴할 때 그 값을 뜻한다. 같은 제어계라도 목표 신호의 형태에 따라 남는 오차가 달라질 수 있다.
적분 와인드업
적분 와인드업은 제어 입력이 구동기의 한계에 걸려 있는데도 제어기의 적분값이 계속 쌓여 응답 회복을 늦추는 현상이다. 출력 수치만 제한한다고 내부 적분 상태까지 제한되는 것은 아니다. 이를 줄이는 제어 처리를 안티 와인드업이라고 한다.
PID 제어
PID 제어는 목표값과 측정값 사이의 오차에 비례, 적분, 미분 동작을 적용해 제어 입력을 만드는 방법이다. 현재 오차의 크기뿐 아니라 누적된 오차와 오차의 변화도 함께 반영한다. 세 동작의 조합과 이득에 따라 응답이 달라진다.
선형 이차 가우스 제어
선형 이차 가우스 제어는 선형 이차 조절기의 상태 피드백과 칼만 상태 추정기를 결합하는 제어 방법이다. LQG라고 부른다. 상태를 모두 직접 측정하지 못하는 상황에서 잡음이 있는 출력으로 상태를 추정하고 그 추정값을 제어 입력에 사용한다.
선형 이차 조절기
선형 이차 조절기는 선형 시스템에서 상태의 크기와 제어 입력의 크기에 대한 이차 비용을 최소화하도록 상태 피드백을 설계하는 방법이다. LQR이라고 부른다. 최적이라는 표현은 선택한 모형과 비용함수, 문제의 조건 안에서 해석해야 한다.
입자 필터
입자 필터는 가능한 상태들을 여러 표본과 가중치로 나타내며 상태를 추정하는 방법이다. 각 표본을 입자라고 부른다. 모형에 따라 입자를 예측하고 측정값과의 적합도로 가중치를 갱신하며, 필요할 때 입자를 다시 뽑는 재표본화를 수행한다.
무향 칼만 필터
무향 칼만 필터는 추정 상태 주변에 정한 시그마 점들을 비선형 함수에 통과시켜 평균과 공분산의 변화를 근사하는 상태 추정 알고리즘이다. UKF라고 부른다. 자코비 행렬을 사용하는 확장 칼만 필터와 비선형성을 다루는 방식이 다르다.
확장 칼만 필터
확장 칼만 필터는 비선형 상태 변화나 측정 관계를 현재 추정값 주변에서 선형화해 상태를 추정하는 알고리즘이다. EKF라고 부른다. 비선형 함수의 자코비 행렬을 이용해 오차 공분산을 전파한다. 선형화가 근사라는 사실이 성능을 평가할 때 중요하다.
칼만 필터
칼만 필터는 시스템 모형을 이용한 예측과 측정값에 의한 보정을 반복해 상태를 추정하는 알고리즘이다. 상태 추정값뿐 아니라 그 오차의 공분산도 함께 갱신한다. 기본 선형 형태의 성능은 모형과 잡음 통계에 대한 가정에 영향을 받는다.
상태 관측기
상태 관측기는 시스템 모형과 알려진 입력, 측정 출력을 이용해 내부 상태를 추정하는 동적 모형이다. 추정한 출력과 실제 측정값의 차이로 상태 추정치를 보정한다. 상태를 직접 측정하는 센서 그 자체와는 구분한다.
상태 피드백
상태 피드백은 시스템의 상태값을 이용해 제어 입력을 정하는 방식이다. 선형 모형의 기본 형태는 u = -Kx다. 상태를 모두 직접 측정하지 못하면 추정한 상태를 사용할 수 있지만 그 추정 과정도 제어 구조의 일부가 된다.
가관측성
가관측성은 알려진 시스템 모형과 입력, 관측한 출력의 시간 변화를 이용해 내부 상태를 알아낼 수 있는 성질이다. 제어 이론에서는 상태 공간 모형의 중요한 특성이다. 상태를 실제 센서로 하나씩 직접 측정해야만 가관측인 것은 아니다.
가제어성
가제어성은 입력을 적절히 선택해 시스템의 상태를 원하는 상태로 옮길 수 있는 성질이다. 여기서는 입력 크기의 제한을 두지 않는 선형 시불변 모형의 완전한 상태 가제어성을 다룬다. 출력을 관측해 내부 상태를 알아내는 가관측성과는 다른 개념이다.
이득 여유
이득 여유는 음의 피드백 루프의 위상이 -180도에 해당하는 주파수에서 크기 이득이 1이 되도록 필요한 배율을 나타내는 값이다. 선형 배율이나 데시벨로 표현한다. 위상 여유와는 평가하는 교차 주파수가 다르다.
위상 여유
위상 여유는 음의 피드백 루프의 크기 이득이 1인 주파수에서 응답 위상과 -180도 기준 사이의 차이를 나타내는 값이다. 보통 도 단위로 표현한다. 하나의 교차점에서 읽은 값만으로 임의의 모든 피드백 시스템의 안정성을 단정하지는 않는다.
근궤적
근궤적은 피드백 시스템의 이득을 바꿀 때 폐루프 극점들이 복소평면에서 어떻게 이동하는지 나타내는 궤적이다. 시간에 따른 출력값의 경로가 아니라 이득이라는 매개 변수에 따른 극점의 위치다. 음의 피드백인지와 사용한 개루프 전달함수를 함께 명시해야 한다.
나이퀴스트 선도
나이퀴스트 선도는 주파수를 변화시키며 얻은 복소 주파수 응답을 복소평면 위의 궤적으로 나타낸 그래프다. 가로축은 실수부, 세로축은 허수부다. 주파수에 따른 크기와 위상을 두 그래프로 나누는 보드 선도와 같은 응답을 다른 방식으로 표현한다.